高中数学：等差数列的性质！

设{an}是等差数列，则an=bn+k(b,k为常数)，若数列{1/an}也是等差数列，则1/a(n+1)-1/an=-a/[(an+a+b)(an+b)
为常数，观式子可知，若未知数n的系数为0，即a=0时整式为常数，此时公差0为。公差为0的等差数列为常数列，所以存在满足条件的数列{k}(k为常数)

看看这个能不能帮到你
等式右边少了两个括号
应该是：
1/(a1+d)-1/a1=1/(a1+2d)-1/(a1+d)
上述等式左边={1/an}的第二项减第一项，即1/a2-1/a1=1/(a1+d)-1/a1
等式右边={1/an}的第三项减第二项，即1/a3-1/a2=1/(a1+2d)-1/(a1+d）
{1/an}是等差数列，
所以1/a2-1/a1=1/a3-1/a2
即，1/(a1+d)-1/a1=1/(a1+2d)-1/(a1+d)
化简此等式，最终d^2=0
d=0
与题设矛盾。

必要条件的意思是等差数列的相邻两项之间的差都相等，且等于该等差数列的公差。这是等差数列的一个基本性质。
这道题里用到了这个基本性质，不代表其他关于等差数列的很多题都用得到。

存在
an为常数列且an≠0，即an=K （K≠0）
例如:an=5,即数列｛an｝为5，5，5，5，5....... 为等差数列，差为0
则1/an=1/S，按上例，数列｛1/an｝为1/5，1/5，1/5，1/5，1/5....... 为等差数列，差为0
证明：
an为等差数列，则an+1-an=an-an-1，即2an=an+1+an-1 等式(1)
1/an为等差数列，同理可得，2/an=1/(an+1)+1/(an-1) 等式(2)
（1）*（2）得
4=（an+1）/（an-1）+（an-1）/（an+1）+2=[(an+1)²+(an-1)²]/(an+1*an-1)+2
可得：(an+1)²+(an-1)²-2(an+1)*(an-1)=(an+1-an-1)²=0
可得：an+1=an-1
所以an=a1=a2=a3=...，即an为常数列，且an≠0

2a(2)=a1+a3
2/a(2)=1/a1+1/a3

解方程:算式1乘以算式2：4=2+a3/a1+a1/a3

a1^2+a3^2=2a1

平方公式：(a1-a3)^2=0
a1=a3

所以d=0

也就是通项公式为 an=S S为常数

an = k ( k 常数 不等于0)
bn=1/an = 1/k

数列{1/an}也是等差数列