一道高数证明题

1设函数f(x)在[1.2]上连续,在{1,2}内可导,且f(2)=0,F(x)=(x-1)f(x),证明 至少存在一点A属于(1,2).使得F(A)的导数=0

2.直接对F（x)用罗尔定理便可得到
(1)F（x)在[1,2]上连续（因为它是两个连续函数的乘积）；
(2)F（x)在(1,2)内可导（因为它也是两个可导函数的乘积）
(3)F(1)=(1-1)f(1)=0，F(2)=(2-1)f(2)=0
即F(1)=F(2)
因此至少存在一点A属于(1,2).使得F'(A)=0
严格地用e-N法证明n^2*q^n的极限为0，其中q的绝对值小于1，q不等于0
就是证明n^2*q^n-0的绝对值等于一个无穷小量的大法。
^是幂的意思，n^2*q^n的意思是（n的平方）乘（q的n次方）

2.|q|<1,故可设|q|=1/(1+x),x>0
设f(x)=(1+x)^n,由泰勒公式可知，
f(x)=(1+x)^n=f(0)+f'(0)x+f''(0)*x^2/2!+f'''(0)*x^3/3!+Rn(x)
因为x>0,0<ξ0
∴f(x)>f'''(0)*x^3/3!=n(n-1)(n-2)x^3/3!>n^2(n-3)x^3/6
∴|q|^n=1/(1+x)^n<1/[n^2(n-3)x^3/6]=6/n^2(n-3)x^3
∴|n^2*q^n-0|=|n^2|*|q^n|任取一个正数ε，令6/(n-3)x^3<ε，得n>6/εx^3+3
取N=[6/εx^3+4]，则当n>N时，必有
|n^2*q^n-0|<6/(n-3)x^3<ε
由ε的任意性可知，n趋于∞时n^2*q^n的极限为0
命题得证

3.证明 f(x)=\1-3x\在定义域内无界

3.显然，函数定义域为R。

对任意给定的正实数M，当 x>=max{1/3，(M+1)/3}时，有
f(x)=|1-3x|=3x-1>=M
所以，f(x)无界。

4.证明：不管b取何值，方程x^3-3x+b=0在区间[-1，1]上至多有一个实根。
（用中值定理，如罗尔定理，阿格朗日中值定理，柯西中值定理之一证明）
4.反证:假设在[-1，1]上有两个实根,设为a,b,(-11(矛盾)所以不管b取何值，方程x^3-3x+b=0在区间[-1，1]上至多有一个实根。

我觉得积分下限应该为0

看图 。该题型在考研数学一2002年出现同一类型。可以参看。

利用积分中值定理：
∫ [0,x] e^(t²) dt = x * e^(ξ²) , 其中 ξ 介于 0 和 x 之间。
= x * e^( θ x²)， 其中 θ ∈[ 0,1]
当t > 0时, 令 f(t) = e^(t²) , f '(t) = 2t e^(t²) > 0， f(t) 严格单增，
故 上式中的 θ 是唯一的。
θ = (1/x²) * ln【∫ [0,x] e^(t²) dt / x】
lim(x->+∞) θ = lim(x->+∞) (1/x²) * ln【∫ [0,x] e^(t²) dt / x】
= lim(x->+∞) (1/x²) * 【 ln( ∫ [0,x] e^(t²) dt ) - ln x 】
= lim(x->+∞) 【e^(x²) / ∫ [0,x] e^(t²) dt - 1/x 】/ (2x) 洛必达法则
= lim(x->+∞) 【 x e^(x²) - ∫ [0,x] e^(t²) dt 】/ ( 2 x² ∫ [0,x] e^(t²) dt )
= lim(x->+∞) 【2 x² e^(x²) 】/ 【2 x² e^(x²) + 4 x ∫ [0,x] e^(t²) dt 】
= 。。。 两次洛必达法则
= 1