对数函数，指数函数，幂函数怎么学？

没什么麻烦的，记住图像，定义，公式，再做点题就可以了　　对数函数
　　一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
　　对数函数的公理化定义
　　设 ，满足
　　1） 是 上的连续函数；
　　2） ，有
　　3）对于 ，且 ，有 。称 是以 为底 为对数，记作 。
　　真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，
　　底数则要大于0且不为1
　　对数函数的底数为什么要大于0且不为1
　　在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于4，另一个等于-4）
　　对数函数的一般形式为 y=log(a)x，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
　　（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
　　（2） 对数函数的值域为全部实数集合。
　　（3） 函数图像总是通过（1，0）点。
　　（4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调减函数，并且下凹。
　　（5） 显然对数函数无界。
　　对数函数的常用简略表达方式：
　　（1）log(a)(b)=log(a)(b)
　　（2）lg(b)=log(10)(b)
　　（3）ln(b)=log(e)(b)
　　对数函数的运算性质：
　　如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：
　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
　　（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n属于R）
　　（4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）
　　对数与指数之间的关系
　　当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N
　　log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）
　　换底公式 （很重要）
　　log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga
　　ln 自然对数 以e为底
　　lg 常用对数 以10为底 [编辑本段]对数的定义和运算性质 　　一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
　　底数则要大于0且不为1
　　 对数的运算性质：
　　当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：
　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
　　（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）
　　（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）
　　 对数与指数之间的关系
　　当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N (对数恒等式）
　　 对数函数的常用简略表达方式：
　　
　　（1）log(a)(b)=log(a)(b)
　　（2）常用对数:lg(b)=log(10)(b)
　　（3）自然对数:ln(b)=log(e)(b)
　　e=2.718281828...　通常情况下只取e=2.71828　对数函数的定义
　　对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），同样适用于对数函数。
　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 [编辑本段]性质 　　定义域：（0，+∞）值域：实数集R
　　定点：函数图像恒过定点（1，0）。
　　单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；
　　 0　　奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。
　　周期性：不是周期函数
　　零点：x=1
　　注意：负数和0没有对数。
　　两句经典话：底真同对数正
　　底真异对数负 指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
　　如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
　　在函数y=a^x中可以看到：
　　（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，
　　同时a等于０函数无意义一般也不考虑。
　　（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
　　（3） 函数图形都是下凹的。
　　（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
　　（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
　　（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
　　（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)
　　（8） 显然指数函数无界。
　　（9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
　　（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
　　底数的平移：
　　对于任何一个有意义的指数函数：
　　在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
　　在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
　　即“上加下减，左加右减”
　　底数与指数函数图像：
　　 （1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
　　（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
　　（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）
　　幂的大小比较：
　　比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
　　比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：
　　（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
　　例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1.
　　（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
　　例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.
　　（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：
　　<1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。
　　<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。哪么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）时，a^x大于1，异向时a^x小于1.
　　〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.
　　⑴y=4^x
　　因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；
　　⑵y=(1/4)^x
　　因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数 形如y=x^a(a为常数）的函数，[即以底数为自变量指数为常量的函数称为幂函数。]
　　当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
　　对于a的取]值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
　　首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数a是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意[实数；
　　排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不[能是偶数；
　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。
　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，
　　因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
　　可以看到：
　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a＞0时 图象过点（0，0）和（1，1）
　　（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
　　（3）当a大于1时，幂函数图形下凸；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
　　（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
　　（5）显然幂函数无界限。
　　（6）a=0,该函数为偶函数 ｛x|x≠0｝。

上面的够用了，记住公式和题型，另外的就是多练习了！