根据你的陈述提供如下法律意见
你们的劳动合同合法有效，法律性质上类似于非全日制用工，但是又不符合非全日制用工的相关规定。所以仍然属于有固定期限的劳动合同。
用人单位显然没有法律常识，根据我国劳动合同法规定，劳动合同应当采用书面形式。一个内不签订书面劳动合同的应当支付双倍工资。
因为你工作时间还没到一个月因此不能适用双倍工资的法律规定。
但是你在该单位工作的事实是不能改变的。因此你当然 有权获得劳动报酬。
建议你在搜集相关证据后依法申请仲裁。要求用人单位支付劳动报酬，为你购买相关保险。仲裁是免费的 你没有任何负担。
口头约定很多事就很难证明了，找一下在职的证据，试着去当地劳动监察反映
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