x=rcost，y=rsint，代入方程得r^2<=2rsint，于是0<=r<=2sint，故sint必须大于等于0，也就是
0<=t<=pi。Jacobian行列式为r。
∫∫(4-x-y)dxdy
=∫ (从0到pi)dt ∫ (从0到2sint) (4-rcost-rsint)*rdr
=∫ (从0到pi)dt [2r^2-(cost+sint)*r^3/3]|上限2sint下限0
=∫ (从0到pi) [8sin^2t -(cost+sint)*8sin^3t /3]dt
这一步利用二倍角公式：
sin^2t=(1-cos2t)/2，sin^4t=(1-cos2t)^2/4=[1-2cos2t+(1+cos4t)/2]/4
=3/8-0.5cos2t+0.125cos4t
=3pi。
先平移积分。
原式=∫∫(3-x-y)dxdy积分区域D为x^2+y^2<1
=3π-∫∫(x+y)dxdy（根据对称关系）
=3π-2∫∫xdxdy
考虑被积函数是关于x的奇函数，积分区域关于y对称，且被积函数在积分区域上连续。
故∫∫xdxdy=0
故原式=3π
内容全部来源于网络收集，如有侵权，请联系网站删除：QQ：24596024