请问：为什么证明一个函数是否可导之前一定要先证明它是否连续呢？为什么不可以直接就证明它是否可导呢？

因为连续的曲线一找出拐点，求得极值，若某函数在某区间内不连续，有断点，或是单向增减，则无拐点和极值可言，只能求得一个，相对的最大或最小值。

所谓极值，也就是不可超越的界限，是导数为0 的点的函数值，其斜率平行于 X 轴，如SINx，就可以肯定的说，在0 ~ π 的区间内，它的两个极值 是 1 ，-1。

扩展资料：

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

参考资料来源：百度百科-函数

分析 : 导数的实际应用, 意义是在连续的曲线一找出拐点, 求得极值. .若某函数在某区间内不连续, 有断点, 或是单向增减, 则无拐点和极值可言. 只能求得一个 相对的最大或最小值 .
所谓极值, 也就是不可超越的界限,是导数为0 的点的函数值, 其斜率平行于 X 轴 , 如 SIN x , 我们就可以肯定的说, 在0 ~ π 的区间内,它的两个极值 是 1 , -1 .
结论: 先证连续, 后证明可导,其原因正是为了避免在无拐点的区间内去做无用的求导.

如果是按定义验证一个函数是否可导，不必先说明它是否连续。

例如 可以直接用定义验证 f(x)=x^2 在 x=0 处可导。
lim(x-->0) | (f(x) -f(0))/x - 0| = lim(x-->0) | x| = 0
所以 f(x)=x^2 在 x=0 处可导, 且导数=0.

这要从导数的意义去考虑，如果f(x)在x0处可导，那么在x=x0处就有切线存在，且斜率为f'(x0)
如果f(x)在x=x0处不连续，则还会存在切线吗？如果切线不存在，那么斜率还有意义吗？

一元函数可导的必要条件是连续，但是对于多元函数就没有这个规定了