58问答库 > 设xn=1⼀1^2+1⼀2^2+...+1⼀n^2,证明数列{xn}有极限。

设xn=1⼀1^2+1⼀2^2+...+1⼀n^2,证明数列{xn}有极限。

请大家知道一二

2024-11-01 08:27:47

推荐回答（3个）

回答（1）：

将1/n^2缩放为1/n^2<1/(n(n-1))=1/(n-1)-1/n，从第二项起每一项都放
则xn<1+（1-1/2）+（1/2-1/3）+……+(1/(n-1)-1/n)=2-1/n

同样缩放1/n^2>1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1) 得xn>2-1/(n+1)

夹逼定理xn有极限为2

回答（2）：

xn=1/1^2+1/2^2+...+1/n^2
xn>x(n-1)递增
xn=1/1^2+1/2^2+...+1/n^2
<1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n-1))
=1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=2-1/n
<2有上界
{xn}有极限

回答（3）：

夹逼法
1/1²+1/(1×2) + 1/(2×3)+……+1/(n-1)n>x(n)>1/(1×2) + 1/(2×3)+……+1/n(n+1)
1+1-1/2+1/2-1/3+……+1/(n-1)-1/n>x(n)>1-1/2+……+1/n-1/(n+1)
2 - 1/n>x(n)>1-1/(n+1)
数列2-1/n的极限是2
1-1/(n+1)的极限是1
所以x(n)必有极限