证明：当x＞0时，有不等式（1+x）ln（1+x）＞arctanx

证明过程如下：

令f（x）=（1+x）ln（1+x）-arctanx，x≥0，则f（0）=0，且在[0，+∞）上可导。

因为f′（x）=ln（1+x）+1-1/（1+x²）=ln（1+x）+x²/（1+x²）

故当x＞0时，f′（x）＞0

从而，f（x）在[0，+∞）上严格单调递增

故当x＞0时，f（x）＞f（0）=0

即：（1+x）ln（1+x）＞arctanx

扩展资料：

不等式的证明方法，作差比较：.

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。

构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点。

证明：令f（x）=（1+x）ln（1+x）-arctanx，x≥0，则f（0）=0，且在[0，+∞）上可导．
因为f′（x）=ln（1+x）+1-

可以构造函数，答案如图所示