设平面内的向量OA=(-1,-3)OB=(5,3),OM=(2,2).点P在直线OM上，且向量PA*PB=16.

1、OP=nOM
PA=OA-OP=OA-nOM
=-i-3j-n(2i+2j)
=(-1-2n)i+(-3-2n)j
PB=OB-OP=OB-nOM
如上方法 带入后PA*PB=16 把上述算出的PA PB坐标带入
得到关于n的方程 4n^2-4n-15=0 n=-3/2 ,5/2
所以OP=-3/2 OM =-3i-3j 或者OP=5/2 OM=5i+5j
所以OP坐标为（5，5） 或者（-3，-3）
2、cosAPB=PA*PB/|PA||PB|=4/5
3、设U=|OA+tOP| 把OA，OP坐标带入式子中，算出向量OA+tOP的坐标
再求模长，得出关于t的一元二次方程 U=根号（10-40t+50t^2)
函数50>0 所以这个函数有最小值，
当t=-b/2a时 即t=2/5时 U取得最小值
带入t Umin=根号2

OM:y=x
设P(a,a)
则PA=(a+1,a+3),PB=(a-5,a-3)
PA*PB=16
则(a+1)(a-5)+(a+3)(a-3)=16
a²-4a-5+a²-9=2a²-4a-14=16
a²-2a-15=0
a=5或-3
OP=(5，5)或（-3，-3）

若OP=(5，5)
则AP=10,BP=2
16=10*2*cos∠APB
cos∠APB=0.8

若OP=(-3，-3)
则AP=2,BP=10
cos∠APB=0.8

若OP=(5，5)
x（|OA+tOP|）=-1+5t
y（|OA+tOP|）=-3+5t
x²+y²=25t²-10t+1+25t²-30t+9
=50t²-40t+10
=50(t-0.4)²+2
|OA+tOP|最小=根号2

若OP=(-3，-3)
x（|OA+tOP|）=-1-3t
y（|OA+tOP|）=-3-3t
x²+y²=9t²+6t+1+9t²+18t+9=18t²+24t+10
=18(x-2/3)²+2
|OA+tOP|最小=根号2

1.
A(-1,-3)
B(5,3)
M(2,2)
因为P在OM上设P(k,k)
则PA=(-k-1,-k-3),PB=(-k+5,-k+3)
PA*PB=(k+1)(k-5)+(k+3)(k-3)=k^2-4k-5+k^2-9=2k^2-4k-14
得方程2k^2-4k-14=16
化简k^2-2k-15=0=>(k-5)(k+3)=0
k=5 或 k=-3
OP=(5,5)或OP=(-3,-3)

2.cos=PA*PB/|PA||PB|
PA=(-6,-8) PB=(0,-2)
|PA|=10 |PB|=2
cos=16/20=4/5

或
PA=(2,0) PB=(8,6)
|PA|=2 |PB|=10
cos=16/20=4/5

3.OA+tOP=(-1+5t,-3+5t)
|OA+tOP|^2=(5t-1)^2+(5t-3)^2=25t^2-10t+1+25t^2-30t+9=50t^2-40t+10
t=40/100=2/5时|OA+tOP|最小
最小值为根号2

或
OA+tOP=(-1-3t,-3-3t)
|OA+tOP|^2=(3t+1)^2+(3t+3)^2=9t^2+6t+1+9t^2+18t+9=18t^2+24t+10
t=-24/36=-2/3时|OA+tOP|最小
最小值为根号2