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a≠0,
f(x) = x^3 + ax^2 - a^2x + 1,
g(x) = ax^2 - 2x + 1,

f'(x) = 3x^2 + 2ax - a^2 = (3x - a)(x + a),
g'(x) = 2ax - 2 = 2(ax - 1),

(1)
a > 0 时，
x <= -a和x >= a/3时,f'(x) >=0
-a < x < a/3时，f'(x) < 0.

在x >= 1/a时，g'(x) >= 0,
在 x < 1/a时, g'(x) < 0.

所以，
f(x) 在 x <= -a和x >= a/3时单调递增；
在-a
g(x) 在x >= 1/a时单调递增；
在 x < 1/a时单调递减。

（2）
函数y=f(x),y=g(x)的图像只有一个公共点，说明方程 f(x) - g(x) = 0只有唯一的实根。
f(x) - g(x) = x^3 + (2 - a^2)x = x[x^2 + (2 - a^2)],
0是f(x) - g(x)= 0的一个实根，
所以，
2 - a^2 > 0,
a^2 < 2,
-2^(1/2) < a < 0，或者，0 < a < 2^(1/2).

当0 < a < 2^(1/2) 时，
由于
g(x) 在x >= 1/a时单调递增；
在 x < 1/a时单调递减。
g(x) 在 x = 1/a处达到最小值.
h(a) = g(1/a) = 1 - 1/a,

-2^(1/2) < a < 0时，
g(x) 在x <= 1/a时单调递增；
在 x > 1/a时单调递减。
g(x) 不存在最小值.

因此，
一定有，
0 < a < 2^(1/2), 1/a > 2^(-1/2), 1-1/a < 1-2^(-1/2)
所以，h(a) = 1 - 1/a的值域为（负无穷，1-2^(-1/2)）.

（3）
a > 0时，
0 < a < a + 2.

f(x) 在x >= a/3时单调递增；所以，f(x)在（a,a+2）上一定是增函数。
g(x) 在x >= 1/a时单调递增；

1/a <= a, 1 <= a^2, 1 <= a.
所以当 a >= 1时，函数在区间(a,a+2)都是增函数。

a < 0时，
f(x) 在x <= a/3时单调递增；

g(x) 在x <= 1/a时单调递增；

a + 2 <= a/3, a <= -3.
a + 2 <= 1/a, a^2 + 2x - 1 >= 0, a <= -1 - 2^(1/2).

所以，
a <= -3时，函数在区间(a,a+2)都是增函数。

综合知，

a >= 1，或者，a <= -3时，函数在区间(a,a+2)都是增函数。

不是说过了，08高考湖南卷文科21题，自己上天星看去

兄弟，大学生怎么还问高中题呢？
（1），f(x)在整个实数范围内单调增加，g(x)右侧用配方法，当x=1/a时取得最小值，左边单调减少，右边单调增加。
（2），g(x)存在最小值，依然是转弯告诉你a>0，两函数相等解方程，x=0或x=根号下2+a，令a=-2，则两函数只有一个交点。
（3），参考（1）

（1）函数f(x)导数=3x^2+2ax-a^2 使f(x)导数>0 得到-a函数g(x)导数=2ax-2 使函数g(x)导数>0得到 x>1\a(单调递增区间）

（2）使f(x)=g(x) 得到x（x^2-a^2+2)=0 所以公共点只能是x=0 所以 a^2-2<0 所以-根号2g(x)最小值为h(x),h(x)=1-1\a 因为-根号2所以h(x)值域是 负无穷
（3）是哪个函数啊？ 解法同第一问吧··

(1)
f(x)'=3x²+2ax-a²=0
x=-a或a/3
f(x)''=6x+2a
知：x∈(-∞,-a)时x单调递增；x∈[-a,a/3)是单调递减；x∈[3/a,+∞)时单调递增。
易知：x∈(-∞,1/a]时单调递减，x∈(1/a,+∞)时单调递增
(2)
g(x)有最小值，即a>0
f(x)-g(x)=x³+(2-a²)x=0时有唯一解
2-a²≥0,d得0h(x)=1-1/a,值域为(-∞,1-√2/2]
(3)
讨论f(x)
当a>0时,
a+2≤-a 有a≤-1
a≥a/3,有a≥0
当a<0时，
a≥-a或a+2≤a/3，a≤-3
综上，a>0时满足条件。
讨论g(x)
当a>0,a≥1/a,即a≥1
当a<0时，a≤1/a即a≤-1
综上，a≥1或a≤-3
我写的要比楼上规范些咯！

a^2x中的^是什么