高等数学，例4（利用极坐标的二重积分求解）

2024-11-15 16:56:33

推荐回答（4个）

回答（1）：

极坐标是 x = ρcosθ, y = ρsinθ

则 √(R^2-x^2) = √[R^2-(ρcosθ)^2], 你错为 √(R^2-x^2) = Rsinθ。

此题用极坐标可比直角坐标复杂多了。

第 3 行第 1 式由前面积分函数分子分母约去 1-cosθ 得来。

回答（2）：

你的积分上限错了

回答（3）：

首先极坐标思路是对的，可知道你用极坐标解题错在哪了？存在积分区域，你认为它是圆了，实际上不是的，Z面是由xy 共同组成的线向z 积分组成的面，这个R 在动，不是固定的圆半径。你细心品你的
Dxy 到底是啥

回答（4）：

是计算错误。极坐标变换时，R²-x²=R²-ρ²cos²θ≠(ρsinθ)²。
详细过程是，∫(0,R)√(R²-ρ²cos²θ)ρdρ=[-1/(2cos²)]∫(0,R)√(R²-ρ²cos²θ)d[R²-ρ²cos²θ]=(R³/3)(1-sin³θ)/cos²θ。
∴原式=(R³/3)∫(0,π/2)(1-sin³θ)dθ/cos²θ=…=2R³/3。
供参考。