历届高中数学竞赛试题及答案？

2011年全国高中数学联赛江西省预赛
试 题

一、填空题（每小题10分，共 分）
、 是这样的一个四位数，它的各位数字之和为 ；像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个．
、设数列 满足: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 ．
、以抛物线 上的一点 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形 与 ，则线段 与 的交点 的坐标为 ．
、设 ，则函数 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，过点 作与侧棱 都相交的截面 ，那么， 周长的最小值是 ．
、满足 的一组正整数 ．
、用 表示正整数 的各位数字之和，则 ．
二、解答题（共 题，合计 分）
、（20分）、设 ，且满足： ，求 的值．

、（ 分）如图， 的内心为 ， 分别是
的中点， ，内切圆 分别与边 相切于 ；证明： 三线共点．

、（ 分）在电脑屏幕上给出一个正 边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的 个顶点（其中 是小于 的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；
、证明：如果 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；
、当 为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论．

解 答

、 ．提示：这种四位数 的个数，就是不定方程 满足条件 ， 的整解的个数；即 的非负整解个数，其中 ，易知这种解有 个，即总共有 个这样的四位数．（注：也可直接列举．）
、 ． 提示：由条件得，
，
所以
，
故 ，而 ；

；
于是
；
由此得
.

、 ．提示：设 ，则

，
直线 方程为
，
即 ，因为 ，则
，
即
，
代人方程得
，
于是点 在直线 上；
同理，若设 ，则 方程为
，
即点 也在直线 上，因此交点 的坐标为 ．
、 ．提示：由

所以，
，
即
，
当 ，即 时取得等号．
、 ．提示：

．
、 ．提示：作三棱锥侧面展开图，易知 ∥ ，且由周长最小，得 共线，于是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，则
．
、 ．提示：由于 是 形状的数，所以 必为奇数，而 为偶数， 设 ， ，代人得
，
即
. ①
而 为偶数，则 为奇数，设 ，则
，
由①得，
， ②
则 为奇数，且 中恰有一个是 的倍数，当 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为
，
即 ，于是 ；
若 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为 ，即 ，它无整解；
于是 是唯一解： ．
（另外，也可由 为偶数出发，使

为 的倍数，那么 是 的倍数，故 是 形状的偶数，依次取 ，检验相应的六个数即可．）

、 ．提示：添加自然数 ，这样并不改变问题性质；先考虑由 到 这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集 ，易知对于每个 ，首位为 的“三位数”恰有 个： ，
这样，所有三位数的首位数字和为
.
再将 中的每个数 的前两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合仍是 ，
又将 中的每个数 的首末两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合也是 ，由此知
．
今考虑四位数：在 中，首位（千位）上，共有一千个 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千个 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得

所以

，
即
，
所以
．

、如图，设 交于点 ，连 ，由于中位线 ∥ ，以及 平分 ，则 ，所以 ，因 ，得 共圆．所以 ；又注意 是 的内心，则
.
连 ，在 中，由于切线 ，所以
，
因此 三点共线，即有 三线共点．
、 证明：由于 为质数，而 ，则 ，据裴蜀定理，存在正整数 ，使
, ①
于是当 为奇数时，则①中的 一奇一偶．
如果 为偶数， 为奇数，则将①改写成：
，
令 ，上式成为 ，其中 为奇数， 为偶数．
总之存在奇数 和偶数 ，使①式成立；据①，
, ②
现进行这样的操作：选取一个点 ，自 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了奇数次（ 次），从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（ 次）状态，其颜色不变；称这样的 次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此，可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色．
、当 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来，我们将有如下结论：
如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑；
为此，采用赋值法：将白点改记为“ ”，而黑点记为“ ”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以 ，而改变 个点的颜色，即相当于乘了 个（偶数个） ，由于 ；
因此当多边形所有顶点赋值之积为 ，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为 ，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白．
但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数 ，则①②中的 为奇数，设 是多边形的两个相邻顶点，自点 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了偶数次（ 次），从而颜色不变，而其余所有 个顶点都改变了奇数次（ 次）状态，即都改变了颜色；再自点 开始，按同样的方法操作 次后，点 的颜色不变，其余所有 个顶点都改变了颜色；于是，经过上述 次操作后，多边形恰有 两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有 个点的颜色不变．
现将这样的 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；
于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．
同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；（只需将黑点赋值为“ ”，白点赋值为“ ”，证法便完全相同）．