高中数学中的解题技巧

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从波利亚《怎样解题》
谈数学学习的习惯培养

摘要：运用波利亚的“怎样解题”表来指导数学教学，揭示解题过程的思维训练全貌, 暴露数学学习核心问题的本质，以增进教学效果，同时, 在解题的过程中，也使学生的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高解题能力，而且养成有益的思维习惯，进而形成了良好的数学学习习惯，而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。
关键词：怎样解题表 职业中学 学习习惯
正文：
一、中等职业学校学生学习现状
当前的职校数学教学面临着一种困境，学生生源质量差且参差不齐，经常听到有教师怨言：“这些学生怎么教呵！”学生基础比较差这是事实，是不是学生智质差？不是，学生也聪明，活泼好动，究其原因是职业中学学生大多,数学学习习惯不好，学习被动等，他们不懂得怎样去思考问题, 怎样将己知未知联系起来, 甚至搞不清已知是什么,总之他们不会学习或者说解题不知从何入手。对于教师而言，面对着一个班级里有许多学习目的不明确、学习习惯不好、基础不扎实的学生，如何上好课的确是一大难题，如果沿用传统的课堂教学目标和模式，其结果只能造成师生互怨。
二、波利亚《怎样解题》的启示
美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表。这张表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程。
波利亚把他本人数十年的教学与科研经验集中具体地表现在他的”怎样解题”表上。在这张表中, 他按照逻辑思维的顺序和出现可能性大小的顺序搜集了一系列公式化了的指导性意见, 提出的方式也十分灵活, 有时用建议的口气, 有时则用引导性问题的办法, 尽量顺乎自然, 使学生感到这些意见真是说到他们的心坎上了, 这就是他们自己所要说的话。波利亚说: “教师最重要的任务之一是帮助学生”。 “教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤”。波利亚的《怎样解题》教学思想使我受到启示，在课堂教学中尝试“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤，使学生逐步养成了良好的数学学习习惯。
三、在职校数学教学中应用《怎样解题》思想培养学生学习习惯
(一) 通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯
审题过程就是要审清题目数量关系 ，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。数学教师在通常的教学过程中应时时提醒学生这样尽力去做, 那么我们的学生不管他对每一道题目是否审的清楚, 但一定可以在这种过程中培养起先弄清问题,分析已知条件的习惯。
例 如果一条直线平行于一个平面,那么垂直于这条直线的平面必垂直于这个平面.
讲解 第一步、弄清问题:
你要求证的是什么?
要求证的是平面与平面垂直.
已知些什么?
一条直线平行于一个平面, 另一个平面垂直于这条直线.
α
β

可以用数学语言来叙述题意吗? 可以画张图吗?
已知: 直线a∥平面α, 直线a⊥平面β.
求证: 平面α⊥平面β.
效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个立体模型.
(二) 通过探求解题方法,培养学生拟定解题计划的习惯
在波利亚的解题表中，拟定计划是关键环节，“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上,探索解题思路的发现过程。“拟定计划”的过程其实就是不断变换问题的过程，把复杂的问题向简单的问题转化，陌生的问题向熟悉的问题转化，最终把待解决的问题化归为已解决的或易解决的问题，这样在探索解题思路的过程中自然而然地培养了学生拟定解题计划的习惯。学生有了计划, 就不会拉下已知条件, 就会考虑解题的优先顺序，有清晰的目标，就可以通过计划的实施来实现解题的目标。
讲解 第二步、拟定计划:
怎样证明两个平面垂直?
要证明平面α⊥平面β, 只要在其中一个平面内找到另一个平面的垂线即可。
怎样找到另一个平面的垂线呢？
由直线a⊥平面β, 根据直线和直线平行的性质定理, 只要在平面α内找到一条和直线a平行的直线, 这直线必定垂直于平面β。
怎样在平面α内找到这条直线呢？
而由直线和平面平行的性质定理可知, 只须过直线a任意作一个平面γ和平面α相交于直线b, 则交线b⊥平面β, 由此可证明结论成立.
解题计划：直线a∥平面α，可找平面α内的直线b，a∥b可得直线b⊥平面β，b⊥平面β且平面α经过直线b结论可得证。
(三) 通过实现解题计划,培养学生将计划付诸实现的习惯
想出一个计划,产生一个求解的念头是不容易的,要成功,需要有许多条件,如已有的知识、良好的思维习惯等。我们要把来之不易的好计划好念头付诸实现，在解题计划的实现过程中我们必须充实细节并耐心地检查每一个细节，直到每一点都完全清楚，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。在这个过程中教师要注意培养学生的耐心和恒心，要时时提醒学生自己解题的计划是什么?按照解题计划坚持让学生检查每一步骤,这对职业中学的学生而言尤其重要,因他们的关键是踏踏实实的做每一件事情，将计划执行到底。
α
β

γ
讲解 第三步、实现计划:
证明: 过直线a任作一个平面γ, 和平面α相交于直线b
直线a∥平面α a∥b
b⊥平面β
而平面α过直线b，则 平面α⊥平面β.
直线a⊥平面β

检查：直线和平面平行的性质定理， 直线和直线平行的性质定理，平面和平面垂直的判定定理，三个定理清晰保证每步成立。
(四) 通过解题回顾, 培养学生主动回顾反思的习惯
即使是相当好的学生, 当他得到问题的解答, 并且很干净利落地写下论证后, 就会合上书本, 找点别的事来干干。这样做, 他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。
培养学生对自己的解题过程进行回顾反思的习惯，提高学生的思维自我评介水平，这是提高学习效率，培养数学能力的有效的方法。解题是学好数学的必由之路，养成对自己的解题过程进行回顾反思的习惯是具有正确的解题思想的体现。如果在获得正确答案后就此终止,不对解题过程进行回顾和反思，那么解题活动就有可能停留在经验水平上,事倍功半；如果在每一次解题以后都以对自己的思路作自我评价，探讨成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，并促使学生的思维进入理性认识阶段，事半功倍，同时可能会产生创新的好念头。因此，为了提高数学学习效率，必须加强正确的解题思想教育，使学生养成回顾反思的习惯。
讲解 第四步、回顾:
回顾解题过程可以看到, 解题首先要弄清题意, 从中捕捉有用的信息, 同时又要及时提取记忆中的有关知识, 来拟定出一个成功的计划。此题我们在思维策略上是二层次解决问题, 首先根据直线和平面平行的性质定理找到直线b, 然后根据直线和直线平行的性质定理及平面与平面垂直的判定定理得证。
四、教师应更新教育观念 ,摆出良好姿态
数学家乔治·波利亚在他的《怎样解题》一书中自始至终体现出对学生的关怀和设身处地地为学生考虑的思想。因此，我们职业学校的教师应转变教育思想,树立起为学生服务观念, 摆出良好姿态面对我们的学生，我们要相信每个学生都是有能力学好的。给予学生更多的人文关怀，教师在整个教学过程中应从学生的角度出发，考虑学生的学习感受，特别对于基础差的学生，更不能带有偏见、抱怨和漠然的态度，应尊重他们受教育的权利，设计出符合学生特点的课堂教学，更好地为学生服务。本着这样一种观念，就会创造出一种让学生处处感到被信任的氛围，没有怀疑，只有理解，其结果则会培养学生的自觉意识，增强自律能力，逐步养成良好的学习习惯。这就要求教师要做到：1、要热爱学生，这是达到民主和谐的基础，没有爱就没有教育. 2、要建立平等的师生关系，教师要放下架子，把自己当作学生中的一员，使自己成为既是学生学习的指导者，又是合作者，积极参与学生的讨论、交流，经常用商量的口吻进行教学。3、要正视学生的潜能，承认学生能主动发展，视教学过程为学生的发现、创造的过程，而不仅是知识获得的过程。

参考文献：
G. 波利亚 著<<怎样解题>>阎育苏译
<<数学解题思维策略>>刘云章 赵雄辉 编
从<<怎样解题>>谈例题教学 何双谊 高中数学教与学2004 年第12期
<<波利亚的怎样解题表>>罗增儒 罗新兵 中学数学教学参考2004 年第4期

这是波利亚的精华提取，对高中数学思想方法有启迪作用

望楼主采纳

数学解题的技巧为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。（二）、全方位