等价无穷小只能在两式相除时可以使用，但是加一减一你是用了两个e∧x-1~x公式。是不能用两式相减的，要满足两式相减使用等价无穷小，需要满足这个条件a~a1,b~b1，且lima/b=c≠1才能使用a±b~a1±b1。
由e^x=1+x+o(x)
又sinx=x-x^3/6+o(x^3),tanx=x+x^3/3+o(x^3)
所以e^tanx-e^sinx=(1+tanx+o(tanx))-(1+sinx+o(sinx))
=tanx-sinx+o(x^3)
=x^3/2+o(x^3)
ln(x+1)=x+o(x)
1-cosx=x^2/2+o(x^2)
所以(1-cosx)ln(1+x)=x^3/2+o(x^3)
lim[x→0](e^tanx-e^sinx)/((1-cosx)ln(1+x))
=lim[x→0](x^3/2)/(x^3/2)
=1
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