高中数学问题高手进

第一题：
过A作AD⊥准线交准线于D，过B作BC⊥准线交准线于C。
∵AN＝BN，显然有：AD∥NN1∥BC，∴NN1是梯形ABCD的中位线，
∴｜NN1｜＝（｜AD｜＋｜BC｜）/2，

由抛物线定义，有：｜AD｜＝｜AF｜，｜BC｜＝｜BF｜，又∠AFB＝120°，
由余弦定理，有：｜AB｜^2＝｜AF｜^2＋｜BF｜^2－2｜AF｜｜BF｜cos∠AFB
＝｜AD｜^2＋｜BC｜^2－2｜AD｜｜BC｜cos120°
＝｜AD｜^2＋｜BC｜^2＋｜AD｜｜BC｜

∴（｜NN1｜/｜AB｜）^2
＝［（｜AD｜＋｜BC｜）/2］^2/［｜AD｜^2＋｜BC｜^2＋｜AD｜｜BC｜］
＝（1/4）｛1＋｜AD｜｜BC｜/［｜AD｜^2＋｜BC｜^2＋｜AD｜｜BC｜］｝
＝1/4＋1/｛4［AD/BC＋BC/AD＋1］｝

显然，当AD/BC＋BC/AD取得最小值时，（｜NN1｜/｜AB｜）^2有最大值，即｜NN1｜/｜AB｜有最大值。
而AD/BC＋BC/AD的最小值为2，
∴（｜NN1｜/｜AB｜）^2的最大值＝1/4＋1/［4×（2＋1）］＝1/4＋1/12＝1/3
∴｜NN1｜/｜AB｜的最大值为√3/3。

第二题：
c＝√（3－1）＝√2。∴焦点坐标为F1（－√2，0），F2（√2，0）。
设A的坐标为（√3cosa，sina），B的坐标为（√3cosb，sinb），得：
向量F1A＝（√3cosa＋√2，sina），向量F2B＝（√3cosb－√2，sinb）。
∵向量F1A＝5向量F2B，
∴√3cosa＋√2＝5√3cosb－5√2，sina＝5sinb。
由√3cosa＋√2＝5√3cosb－5√2，得：√3cosa＝5√3cosb－6√2，
∴3（cosa）^2＝25×3（cosb）^2－10×6√6cosb＋36×2
∴3－3（sina）^2＝25×3（cosb）^2－10×6√6cosb＋36×2
∴3－3（5sinb）^2＝25×3（cosb）^2－10×6√6cosb＋36×2
∴3－3×25＝－10×6√6cosb＋36×2
∴10×6√6cosb－36×2＝3×24，∴10√6cosb－6×2＝3×4，∴5√6cosb＝12，
∴25×6［1－（sinb）^2］＝12×12，∴25－25（sinb）^2＝12×2＝24，
∴sinb＝±1/5，∴sina＝±1，∴cosa＝0，得：A的坐标是（0，±1）。

焦点(p/2,0),准线x=-p/2
设AF与x轴夹角为θ，AF=r,BF=t,则A(p/2+rcosθ,rsinθ),B(p/2+tcos(2π/3+θ),tsin(2π/3+θ))
所以N的x轴坐标为p/2+[rcosθ+tcos(2π/3+θ)]/2,
|NN1|=|p/2+p/2+[rcosθ+tcos(2π/3+θ)]/2|=|p+[rcosθ-tcos(π/3+θ)]/2|
|AB|^2=[p/2+rcosθ-p/2-tcos(2π/3+θ)]^2+[rsinθ-tsin(2π/3+θ)]^2
=[rcosθ+tcos(π/3+θ)]^2+[rsinθ-tsin(π/3+θ)]^2
=(r^2)(cosθ)^2+(t^2)[cos(π/3+θ)]^2+2rtcosθcos(π/3+θ)+(r^2)(sinθ)^2+(t^2)[sin(π/3+θ)]^2-2rtsinθsin(π/3+θ)
=r^2+t^2+2rt[cosθcos(π/3+θ)-sinθsin(π/3+θ)]
=r^2+t^2+2rtcos(π/3+2θ)

(rsinθ)^2=2p(p/2+rcosθ),[tsin(2π/3+θ)]^2=2p[p/2+tcos(2π/3+θ)]

m=|NN1|/|AB|=|p+[rcosθ-tcos(π/3+θ)]/2|/√[r^2+t^2+2rtcos(π/3+2θ)]

1
y^2=2px
F(p/2,0)
AB^2=AF^2+BF^2-2AFBFcos120
=AF^2+BF^2+AFBF
=(AF+BF)^2-AFBF
|NN1|/|AB|=[(AF+BF)/2)]/ √[(AF+BF)^2-AFBF]
=(1/2)/√[1-AFBF/(AF+BF)^2]
AF^2+BF^2≥2AFBF
(AF+BF)^2≥4AFBF
AF=BF时AFBF/(AF+BF)^2最大=1/4
|NN1|/|AB|最大=（1/2)/√3/2=√3/3

2

用定义做！