高中数学问题！高手进

我一个个来回答吧，有的是从方程的角度有的是从图像的角度。第一个问题在一支上有两个交点。如果双曲线的实轴在X轴。用X代Y带入方程以后先看根的判定式是否大于0，如果大于0再看两根之积，如果在同一支那么两根积应该是大于0的。如果需要知道具体在左边还是右边就看两根和，如果大于0说明在右边，小于0在左边。如果实轴在Y轴，那么用Y代X方法同上。（这种方法比较简单，但是只能处理中心在原点的双曲线，其实稍有移位也可以但就不多提了。如果需要处理经过移位的双曲线，有两种方法，第一种是利用代换把坐标的原点移到双曲线中心，这种方法比较讨巧。第二种就是解根，看根的具体数值，比较繁琐。）第二个问题，如果与一支有两个交点与另一支一定没有交点，因为双曲线是二次多值函数，与一次方程联立只能有两个根。第三个问题，左右各一交点就是用上述方法代入后看两根积，这个时候可以不需要看判定式，只要两根积小于0即可。第四个问题同第二个问题。
还有一种方法非常简单但是不建议在大题目中使用。如果要直线与双曲线在同一支上有两个焦点，只要符合两个条件：1.有交点。2.斜率的绝对值比双曲线的渐进线斜率的绝对值要大。如果要左右各一支，只要符合一个条件：斜率的绝对值比双曲线的渐进线斜率的绝对值要小。这样你一眼就可以看出交点的情况

（1）与一支会有两个交点的。连立方程后，保证两根同号且均大于a,或小于-a.此时，与另一支无交点。画出双曲线及渐近线后，可直观地看出的。（2)保证两根异号。画图看吧。

这个我觉得是考察数形结思想的灵活运用。你先画个双曲线草图，再随意画一条直线，记住，一定是随意画的，应能代表普遍意义。你画完图后你就会惊奇的发现，你提出的这些问题实际上很容易解决，根本就不用去联立方程组，去讨论根的正负，最简单的方法就是去讨论y=kx+b这条直线与双曲线的渐近线的位置关系，你想想看，是不是这么回事。因为双曲线的两支是与它的两条渐近线无限靠近但永不相交的，只要使直线y=kx+b的直线的斜率k满足与两渐近线的斜率有什么关系就可以有与某支两个交点，一支各有一个交点，以及你说的第三种情况存不存在的问题都能看的一清二楚。具体的你画图看看就行了，不明白的话可以在线联系，就是不知道我说没说清楚。