正定矩阵有哪些性质

矩阵正定性的性质：

1、正定矩阵的特征值都是正数。

2、正定矩阵的主元也都是正数。

3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。

4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。

正定矩阵的性质与判别方法

1、对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。

2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

扩展资料：

矩阵与行列式的区别：

1、矩阵是一个表格，行数和列数可以不一样；而行列式是一个数，且行数必须等于列数。只有方阵才可以定义它的行列式，而对于长方阵不能定义它的行列式。  

2、两个矩阵相等是指对应元素都相等；两个行列式相等不要求对应元素都相等，甚至阶数也可以不一样，只要运算代数和的结果一样就行了。  

3、两矩阵相加是将各对应元素相加；两行列式相加，是将运算结果相加，在特殊情况下(比如有行或列相同)，只能将一行(或列)的元素相加，其余元素照写。

参考资料来源：百度百科-正定矩阵

　　一． 定义

　　因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:

　　设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。

　　相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：

　　令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。

　　例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。

　　二． 正定矩阵的一些判别方法

　　由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

　　1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

　　证明：若 ， 则有

　　∴λ＞0

　　反之，必存在U使

　　即

　　有
　　这就证明了A正定。

　　由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。

　　2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

　　证明：A正定

　　二次型 正定

　　A的正惯性指数为n

　　3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。

　　证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使

　　令 则
　　令 则
　　反之，
　　∴A正定。

　　同理可证A为半正定时的情况。

　　4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。

　　证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定

　　∴ 是正定二次型

　　现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有
　　∴
　　∴A正定

　　∴存在可逆矩阵C ，使

　　5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。

　　证明：必要性：

　　设二次型 是正定的

　　对每个k,k=1,2,…,n,令

　　，

　　现证 是一个k元二次型。

　　∵对任意k个不全为零的实数 ，有
　　∴ 是正定的

　　∴ 的矩阵

　　是正定矩阵

　　即
　　即A的顺序主子式全大于零。

　　充分性：

　　对n作数学归纳法

　　当n=1时，
　　∵ ， 显然 是正定的。

　　假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。

　　令 ， ，

　　∴A可分块写成
　　∵A的顺序主子式全大于零

　　∴ 的顺序主子式也全大于零

　　由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使
　　令
　　∴
　　再令 ，

　　有
　　令 ，

　　就有
　　两边取行列式，则
　　由条件 得a＞0

　　显然
　　即A合同于E ，

　　∴A是正定的。

　　三． 负定矩阵的一些判别方法

　　1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。

　　2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。

　　3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足

　　，

　　即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。

　　由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。

　　四．半正定矩阵的一些判别方法

　　1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。

　　2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。

　　3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。

　　注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如：

　　矩阵 的顺序主子式 ， ， ，

　　但A并不是半正定的。

　　关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。

对于对称矩阵A,若对任意非零向量x，都有x*AX>0成立，则称A为正定。
如果A是正定矩阵，那么a[i][i]一定大于0。因为，a[i][i]=ei*Aei>0.
其中，ei为第i个单位向量。

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