| 解：（1）由题设知a 2 =b 2 +c 2 ，e= 由点（1，e）在椭圆上，得 ∴b=1，c 2 =a 2 -1 由点（e， ∴ ∴a 2 =2 ∴椭圆的方程为 （2）解：由（1）得F 1 （-1，0），F 2 （1，0）， 又∵直线AF 1 与直线BF 2 平行， ∴设AF 1 与BF 2 的方程分别为x+1=my，x-1=my 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），y 1 ＞0，y 2 ＞0， ∴由 ∴ ∴|AF 1 |= 同理|BF 2 |= （i）由①②得|AF 1 |-|BF 2 |= ∴ ∵注意到m＞0， ∴m= ∴直线AF 1 的斜率为 （ii）证明：∵直线AF 1 与直线BF 2 平行， ∴ 由点B在椭圆上知， ∴ 同理 ∴PF 1 +PF 2 = 由①②得， ∴PF 1 +PF 2 = ∴PF 1 +PF 2 是定值。 |
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