1、群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(group axioms)，即：
①封闭性：a ∗ b is another element in the set
②结合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
③单位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a
④逆 元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a，… (对于所有元素)
⑤如整数集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的，加法满足结合律，单位元为0，逆元取相反数-a)。
2、环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)，需要满足环公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。环公理如下：
①(R, +)是交换群
封闭性：a + b is another element in the set
结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
单位元：加法的单位元为0，a + 0 = a and 0 + a = a
逆 元：加法的逆元为-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (对于所有元素)
交换律：a + b = b + a
②(R, ·)是幺半群
结合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
单位元：乘法的单位元为1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a
③乘法对加法满足分配律Multiplication distributes over addition
3、域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。
由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合，不存在乘法逆元(1/3不是整数)，所以整数集合不是域。有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。
群、环、域都是满足一定条件的集合，可大可小，可可数 也可 不可数，一个元素可以是群『0』，三个也可以『0，1，-1』，可数的：以整数为系数的多项式（可以验证也是环），当然R也是；环不过是在群的基础上加上了交换律和另外一种运算，域的条件更强（除0元可逆），常见的一般是数域，也就是：整数，有理数，实数，复数。 其实环和域上所谓的乘法不一定就是通常说的乘法，例子相信你的书上应该有，我们只是叫它乘法而已。 只能说到这儿了，你应该是想知道一些具体的例子，定义应该是蛮清楚的。
群，环，域都是集合，在这个集合上定义有特定元素和一些运算，这些运算具有一些性质。群上定义一个运算，满足结合律，有单位元（元素和单位元进行运算不变），每个元素有逆元（元素和逆元运算得单位元） 例整数集，加法及结合律，单位元0,逆元是相反数， 正数集，乘法及结合律，单位元1，逆元是倒数 环是一种群，定义的群运算（记为＋）还要满足交换律。另外环上还有一个运算（记为×），满足结合律，同时有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由于×不一定有交换律，所以分开写。 例整数集上加法和乘法。 域是一种环，上面的×要满足交换律，除了有＋的单位元还要有×的单位元（二者不等），除了＋的单位元外其他元素都有×的逆元。 例整数集上加法和乘法，单位元0,1。
循环群+群生成元：如果存在一个元素a属于G，对任一属于G的元素b，都存在一个整数i>=0，使得b=a^i，则群G就称为循环群,元素a称为G的一个生成元，G也称为由a生成的群。当一个群由a生成的时候，记做G=。
有限群G中元素个数称为G的阶，记为#G。
阿贝尔群是交换群，即有群中元素a*b=b*a，*是群操作。
看了楼上的说法，我来说说个人理解
首先说说对问题的理解
1、楼主问群、域、环等，这个等还包括什么？包括模与同调吗？包括序和格吗？问题没有说清楚
2、单就群、域、环来说，这几个概念，每一个都有很多范畴，楼主具体想知道什么群、什么环呢？群包括交换群（加群）、置换群、典型群、半群、代数群、组合群、计算群、李群、拓扑群等等，每个群的性质都不太一样，楼主你问的是哪个群呢？环包括群环、分次环、半环、微分算子环、拟环等等，楼主又问的是哪个环呢？
基于对问题提的模糊不清，我只说群基本定义、交换群（一种常见的重要群）、结合环（环的主要研究对象）、域的基本定义，说说三者的区别和联系
概念如下：
1、群，域，环都是代数系统（非空集合+运算+规则）
2、群的定义=[非空集合V]+[一个称之为“乘法”的二元运算（对V中任意a，b，ab=c属于V）]+[结合律、单位元ae=ea=a、逆元aa-1=e]
3、交换群就是上面的群还满足交换律，也称作加群，ab=ba 此时单位元用0表示，称作零元
4、为了知道环，先说说半群，半群就是上面的群只满足结合律即可，那么环=[非空集合V]+[两个二元运算（一个称之为加法，一个称之为乘法）]+[V对加法构成交换群（加群），V对乘法构成半群，乘法对加法满足分配律]
5、域=[非空集合V]+[两个二元运算（一个称之为加法，一个称之为乘法）]+[V对加法构成交换群，V对乘法是非零元构成交换群，乘法对加法满足分配律]
由以上定义可以看出
1、群是含一个二元运算，由单位元和逆元，而交换群（加群）是还要满足交换律，半群是群的扩展，只满足结合律
2、环是两个二元运算、对加法构成加群，对乘法构成半群，满足分配律
3、域是两个二元运算，对加法构成加群，对乘法构成非零元的交换群，满足分配律
注意半群是群的扩展，自然包括交换群，用一句形象的话来说（仅对上面的定义），群最小、域其次、环最大
我看有人回答“域是在交换环的基础上，还增加了二元运算除法”这句话是不对的，域定义中没有除法运算这个概念，环和域中都有乘法运算自然也就包括了除法这个逆运算，这句话可以这样说，交换环和域是等价的，因为交换环对乘法构成的是交换群，而不是半群，
此外补充一下，数环、数域的定义
数环：特殊数集、复数集的非空子集P中如果和、差、乘积仍属于P，那么P称为数环
数域：特殊数集、复数集的非空子集P中如果和、差、乘积、商（除数不含0）仍属于P，那么P称为数域
由此可见数环、数域只是以数为集合的概念，而与抽象代数中环、域是有些区别的，后者更加广义
这是抽象代数的内容:
集合是基本概念,相当于一类/一堆/全体/...你该理解，不说了。
群是特殊的集，在它上面可以定义一种运算（通常叫做“乘法”，但跟数的乘法无必然联系），要封闭/可结合/有单位元（类似乘1/加0）/有逆元（类似乘倒数/加相反数）...
例如，正有理数是乘法群，非零有理数也是乘法群，整数集在加法下成群。
注意，群不要求交换律，如果满足交换律，叫阿贝尔群（或加法群）。
环和域的要求就更高了，不必给你讲抽象的，只在数的范围内讨论：
在加/减/乘下封闭的数集是数环，如果数环在除法下也封闭，就叫数域。
某数的倍数全体（包括负的）成一数环，有理数集是最小的数域，实数集/复数集也是数域。
更深的内容参见大学课本，抽象代数/近世代数之类......
群、域和环是抽象代数中的三个基本结构，它们在代数学中具有不同的性质和定义。
群是一种代数结构，它由一个集合和一种二元运算组成。这个二元运算满足封闭性、结合律、存在单位元和每个元素都有逆元的性质。简而言之，群是一个满足一些基本性质的代数结构。
域是一种更加丰富的数学结构，它包括一个集合、两个二元运算（加法和乘法）以及一些运算法则。在一个域中，加法和乘法满足交换律、结合律、分配律等性质，并且存在加法单位元和乘法单位元。此外，每个非零元素都有加法逆元和乘法逆元。域是一种更加广义的结构，它包括了有理数、实数和复数等常见数域。
环是介于群和域之间的一种结构。环是一个集合和两个二元运算（加法和乘法）组成的代数结构。加法通常是一个阿贝尔群，乘法满足封闭性、结合律以及分配律。环不一定有乘法逆元，也不一定满足乘法交换律，因此环比域具有更灵活的结构。
总结：群、环和域是抽象代数中的三个基本结构。群是满足一些基本性质的代数结构，域是一种更丰富的结构，包含了加法和乘法，并满足更多的性质，而环是介于群和域之间的结构，具有较灵活的性质。
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