柯西不等式的公式，一一列举

1、二维形式：

(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2

等号成立条件：ad=bc

2、三角形式：

√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]

等号成立条件：ad=bc

3、向量形式：

|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

4、一般形式：

(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2

等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

扩展资料：

基本不等式

(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab

(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0

(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)

(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)

(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0

(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab

(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2

不等式的证明方法

(1)比较法：作差比较：.

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

(2)反证法：正难则反。

(3)放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

柯西不等式 　 二维形式　　(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2　　等号成立条件：ad=bc　　 三角形式　　√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]　　等号成立条件：ad=bc　　注：“√”表示平方根，　　 向量形式　　|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。　　 一般形式　　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。　　上述不等式等同于图片中的不等式。　　 推广形式　　(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(Πx)^(1/m)＋(Πy)^(1/m)＋…]^m　　注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均　　不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）

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