定积分三角函数周期性问题

你好，这是因为x|sinx|在[0,2π]定义域内，不是关于x=π直线对称，所以等式不成立。

关键在于积分符号里面的那个x。|sinx|的周期倒是π。但是正比例函数不是周期函数。不能这么用。

是不等于
方法如下图所示，
请认真查看，
祝学习愉快，
学业进步！

满意请釆纳！

需要去掉绝对值，所以左边进行分段积分
∫（0，π）xsinxdx -∫（π，2π）xsinxdx
对于∫（π，2π）xsinxdx ， 令t+π=x，则dt=dx
x:（π，2π）， t: (0，π）
∫（π，2π）xsinxdx =∫(0，π）（π+t）sin（π+t）dt
=-∫(0，π）（π+t）sintdt
不同积分变量不影响积分值
所以：-∫(0，π）（π+t）sintdt=-∫(0，π）（π+x）sinxdx
所以：∫（0，π）xsinxdx -∫（π，2π）xsinxdx
=∫（0，π）xsinxdx +∫(0，π）（π+x）sinxdx
=2∫（0，π）xsinxdx +∫(0，π）πsinxdx
=2∫（0，π）xsinxdx -πcosx|(0，π）
=2∫（0，π）xsinxdx+2π
而右边=2∫（0，π）xsinxdx
差了一个常数值：2π