[根号下（x^2-9）]⼀x的不定积分（换元法）

[根号下（x^2-9）]/x的不定积分（换元法）

2024-11-06 22:22:32

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回答（1）：

令√（x^2－9）＝u，则：x^2＝u^2＋9，∴d（x^2）＝2udu。
∴∫［√（x^2－9）/x］dx
＝（1/2）∫［2x√（x^2－9）/x^2］dx
＝（1/2）∫［√（x^2－9）/x^2］d（x^2）
＝（1/2）∫［u/（u^2＋9）］·2udu
＝∫｛［（u^2＋9）－9］/（u^2＋9）｝du
＝∫du－9∫［1/（u^2＋9）］du
＝u－9∫｛1/［9（u/3）^2＋9］｝du
＝u－3∫｛1/［（u/3）^2＋1］｝d（u/3）
＝u－3arctan（u/3）＋C
＝√（x^2－9）－3arctan［（1/3）√（x^2－9）］＋C。