：（Ⅰ）f′（x）=-3x2+2ax=0得x=0或x=
a．2 3
a＞0时，x变化时f'（x），f（x）变化如下表：
所以f（0）=b=1，f(
a)＝?2 3
a3+a?8 27
a2+1＝4 9
，31 27
即a=1，b=1．故f（x）=-x3+x2+1；
（Ⅱ）由题设x∈[0，1]时，恒有|k|=|f′（x）|≤1，
即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0，1]上恒成立．
当x=0时，a∈R；
当x∈（0，1]时，由-3x2+2ax≥-1恒成立，
即2ax≥3x2-1，a≥
(3x?1 2
)，1 x
所以a≥1（函数
(3x?1 2
)在（0，1]上为增函数）．1 x
另一方面，由-3x2+2ax≤1恒成立，a≤
(3x+1 2
)，1 x
所以a≤
（当且仅当x＝
3
时，取最值）．
3
3
综上所述：1≤a≤
．
3
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