xsinx⼀(1+cos^2x)在0到派的定积分？

2024-10-31 02:59:09

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回答（1）：

具体回答如图：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分，

若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。

设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

回答（2）：

^令t＝π－x，则

∫(0～π) xsinx/[1+(cosx)^2]dx

＝∫(π～0) (π－t)sint/[1+(cost)^2](-dt)

＝∫(0～π) (π－t)sint/[1+(cost)^2]dt

＝π∫(0～π) sint/[1+(cost)^2]dt－∫(0～π) tsint/[1+(cost)^2]dt

所以∫(0～π) xsinx/[1+(cosx)^2]dx＝π/2×∫(0～π) sint/[1+(cost)^2]dt，原函数是－arctan(cosx)，所以利用牛顿－莱布尼兹公式得

∫(0～π) xsinx/[1+(cosx)^2]dx＝π/2×π/2＝π^2/4

例如：

原函数为

-arctan(cosx)

所以，定积分为

-arctan(cosx) |(0→π)

=π/4-(-π/4)

=π/2

扩展资料：

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

参考资料来源：百度百科-定积分

回答（3）：

可以考虑换元法，答案如图所示

回答（4）：

回答（5）：

其中（2）运用了周期性