南通2009届第二次调研考试

南通市2009届高三第二次调研测试
数学参考答案及评分标准

必做题部分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，则 ▲ .
2. 若复数z满足zi=2+i（i是虚数单位），则z= ▲ .
3. 已知幂函数 的图象过点 ，则
= ▲ .
4. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全
等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，
那么这个几何体的表面积为 ▲ .
5. 设x0是方程8－x=lgx的解，且 ，则k＝ ▲ .
6. 矩形ABCD中， . 在矩形内任取一点P，则 的概率为 ▲ .
7. △ABC中， ， ，则 的最小值是 ▲ .
8. 已知 ， ，则 等于 ▲ .
9. 右图是由所输入的x值计算y值的一个算法程序，
若x依次取数列 （ ，n≤2009）的
项，则所得y值中的最小值为 ▲ .
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，P F1 P F2 =4ab，则双曲线的离心率是 ▲ .
11. 设函数f(x)=ax+b，其中a，b为常数，f1(x)＝f(x)，fn+1(x)＝f [fn(x)]，n＝1，2，….
若f5(x)=32x+93, 则ab＝ ▲ .
12. 函数f(x)= 的值域为 ▲ .
13. 设函数 , A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为
的点，向量 ，向量i=（1，0），设 为向量 与向量i的夹角，则满足
的最大整数n是 ▲ .
14. 已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2
上，且 ，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为 ▲ .
【填空题答案】
1．{2，4}; 2．1－2i ; 3． ； 4． ； 5．7；
6． ； 7． ； 8． ； 9．17； 10． ；
11．6； 12． ； 13．3； 14．18 ．

二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. （本题满分14分）
某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
女生 523 x y
男生 487 490 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.
（1）问高二年级有多少名女生？
（2）现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少
名学生？
【解】（1）由题设可知 ， 所以x=510. ………………………6分
（2）高三年级人数为y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，………………9分
现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：
名. ………………………12分
答：（1）高二年级有510名女生；（2）在高三年级抽取99名学生．……………14分

16. （本题满分14分）
如图， ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
AB=4a，BC= CF=2a， P为AB的中点.
（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面体PCEF的体积.
【证明】（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC, P为AB的中点，
所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45°. …………………………2分
同理可证∠APD=45°.
所以∠DPC=90°，即PC⊥PD. …………………………3分
又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE. ………………………4分
因为DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分
又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分
【解】（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以DE//CF. 又DC⊥CF，
所以 ……………………… 10分
在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则
PQ//BC，PQ=BC=2a.
因为BC⊥CD，BC⊥CF，
所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，
亦即P到平面PCEF的距离为PQ=2a. ………………………12分
………………………14分
（注：本题亦可利用 求得）

17 . （本题满分15分）
△ABC中，角A的对边长等于2，向量m= ，向量n= .
（1）求m•n取得最大值时的角A的大小；
（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值.
【解】（1）m•n＝2 － . …………………3分
因为 A＋B＋C ，所以B＋C －A，
于是m•n＝ ＋cosA＝－2 ＝－2 .……………5分
因为 ，所以当且仅当 ＝ ，即A＝ 时，m•n取得最大值 .
故m•n取得最大值时的角A＝ . …………………………7分
（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
由余弦定理，得 b2＋c2－a2＝2bccosA， …………………………9分
即bc＋4＝b2＋c2≥2bc， ……………………… 11分
所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号. ……………………… 12分
又S△ABC＝ bcsinA＝ bc≤ .
当且仅当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积最大为 . ………………………15分

18. （本题满分15分）
在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且
OC=1，OA=a+1(a>1)，点D在边OA上，满足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的
椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=－x+b与椭圆弧相切，与AB交于
点E.
（1）求证： ；
（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，
求直线l的方程；
（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，
且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M
的方程．
【解】题设椭圆的方程为 . …………………………1分
由 消去y得 . …………………………2分
由于直线l与椭圆相切，故△＝(－2a2b)2－4a2(1+a2) (b2－1)＝0，
化简得 . ① …………………………4分
（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），
于是OB的中点为 . …………………………5分
因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点 ，
即 ，亦即 . ② …………………………6分
由①②解得 ，故直线l的方程为 …………………………8分
（3）由（2）知 .
因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为 .………9分
因为圆M在矩形及其内部，所以 ④ ……………………… 10分
圆M与 l相切，且圆M在l上方，所以 ，即 .
………………………12分
代入④得 即 ………………………13分
所以圆M面积最大时， ，这时， .
故圆M面积最大时的方程为 ………………………15分

19. （本题满分16分）
已知函数 的导数为 . 记函数
k为常数）.
（1）若函数f(x)在区间 上为减函数，求 的取值范围；
（2）求函数f(x)的值域.
【解】（1）因为f(x)在区间 上为减函数，
所以对任意的 且 恒有 成立.
即 恒成立. …………………………3分
因为 ，所以 对 且 时，恒成立.
又 <1，所以 …………………………6分
（2） . …………………………7分
下面分两种情况讨论：
（1）当 时， 是关于x的增函数，值域为
…………………………9分
（2）当 时，又分三种情况：
①当 时，因为 ，所以 即 .
所以f(x)是减函数， .
又 ，
当 ，所以f(x)值域为 . ………………………10分
②当k=1时， ，
且f(x)是减函数，故f(x)值域是 . ………………………12分
③当 时， 是增函数， ，
.
下面再分两种情况：
（a）当 时， 的唯一实根 ，故 ，
是关于x的增函数，值域为 ；
（b）当 时， 的唯一实根 ，
当 时， ；当 时， ；
所以f(x) .
故f(x)的值域为 . ………………………15分
综上所述，f(x)的值域为 ； （ ）；
（ ）； （ ）. ………………………16分

20．（本题满分16分）
设{an}是等差数列，其前n项的和为Sn.
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）设{an}各项为正数，a1= ，a1≠a2，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；
② . 求集合 的元素个数；
（3）设bn= (a为常数，a>0，a≠1，a1≠a2)，数列{bn}前n项和为Tn. 对于正整数c，
d，e，f，若c【证】（1）{an}为等差数列，设其公差为 ，则
，于是 （常数），
故数列 是等差数列. …………………………3分
【解】（2）因为{an}为等差数列，所以 是等差数列，
于是可设 为常数)，从而 .
因为m+p=2n，所以由 两边平方得
，即 ，
亦即 ，………………………4分
于是 ，两边平方并整理得 ，即 .
…………………………6分
因为m≠p，所以 ，从而 ，而a1= ，所以 .
故 . …………………………7分
所以
.
因为15有4个正约数，所以数对（x，y）的个数为4个.
即集合 中的元素个数为4. ………………………9分
（3）因为 （常数），
所以数列{bn}是正项等比数列.
因为a1≠a2，所以等比数列{bn}的公比q≠1. ………………………10分
（解法一） ①
. ②
因为 ，所以要证②，只要证 ， ③…………………13分
而③
. ④
④显然成立，所以③成立，从而有 .…………………16分
（解法二）注意到当n>m时， . ……………………12分
于是
. ……………………14分
而 ，故 . ……………………16分
（注：第（3）问只写出正确结论的，给1分）

附加题部分
21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4－1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线
相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.
求证： .
【证明】连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠EFA=90°，所以A、D、E、F四点共圆.
所以∠DEA=∠DFA. …………………………10分

B. 选修4－2：矩阵与变换
已知 , 求矩阵B.
【解】设 则 ， …………………………5分
故 ………………………10分
C. 选修4－4：坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系xOy中，动圆 （ R）的
圆心为 ，求 的取值范围..
【解】由题设得 （ 为参数， R）. …………………………5分
于是 ，
所以 . ………………………10分

D．选修4－5：不等式证明选讲
已知函数 . 若不等式 对a0, a、bR恒成立，
求实数x的范围.
【解】 由 |且a0得 .
又因为 ，则有2 . …………………………5分
解不等式 得 ……………………… 10分

22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱 中，P是侧棱 上
的一点， .
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º；
（2）在线段 上是否存在一个定点 ，使得对任意的m，
⊥AP，并证明你的结论.
【解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),
B1(1,1,1), D1(0,0,2).
所以

又由 的一个法向量.
设 与 所成的角为 ，
则 = ，解得 .
故当 时，直线AP与平面 所成角为60º. …………………………5分
（2）若在 上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
则 .
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于

即Q为 的中点时，满足题设的要求. ………………………10分

23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数 是一个随机变量，它的
分布列为： ；设每售出一台电冰箱，电器商获利300元.
如销售不出，则每台每月需花保管费100元. 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使
月平均收益最大？
【解】设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑 的情况.
设电器商每月的收益为y元，
则y是随机变量 的函数，且 …………………4分
于是电器商每月获益的平均数,即为数学期望

. …………………………8分
因为 , 所以当 时, 数学期望最大.
答：电器商每月初购进9台或10台电冰箱, 收益最大，最大收益为1500元.
………………………10分

讲 评 建 议
1. 考查集合的补集。
2. 考查复数的概念及基本运算。
3. 本题主要考查幂函数的定义.由幂函数定义得k=1.
5. 考查零点的概念及学生的估算能力.
7. 向量模的处理方法有两种方法，一用向量的数量积，二用坐标。本题用数量积。
8. 在三角函数的求值及变换中，要特别重视角的变换。如 等。
9. 本题在新的情境中考查学生算法语言，是比较好的创新能力试题，值得重视。
10. 求圆锥曲线的离心率值或范围时，就是寻求含a,c齐次方程或不等式，同时注意圆锥曲线定义在解题中的应用。
11. 本题考查学生递推的方法。
12. 本题考查学生换元，配方等数学方法。
13. 本题考查向量的加法，夹角的相关知识，同时考查数列求和及用估算和验证解不等式的能力。 = ； ； =2-
14. 考查运动与变化，动圆的圆心是以A为圆心的圆，从而所有动圆运动后形成的面积是以A为圆心， 为半径的圆。
15. 本题是概率与统计应用题，考查概率与统计中最基本的知识。属容易题。统计内容在中学教学课时占中有一定的比例，它的相关内容在高考前要提醒学生关注，不能造成考试中知识的盲点。
16．本题主要知识点有：线面垂直的性质，两平面垂直的判定，以锥体的体积公式。起步是从定量到定性，如矩形的长是宽的2倍，产生了哪些性质。本题还考查学生空间想象能力，分析能力，逻辑推理能力，表述的层次性和严密性。另外值得注意的一点，求几何体的体积两大方法：一是，割补法，二是，等积转化法。本题的第二小题利用等积转化比较容易。
17．向量与三角结合是一种常见的题型，本题是向量与三角形结合的题。以向量为背景，涉及知识点有：向量的数量积，三角形内角和定理，面积公式，正弦定理、余弦定理，基本不等式及三角形恒等问题。考查函数思想，数据处理、公式选用的能力。
18．此题主要考查直线、圆、椭圆以及不等式等知识的综合运用，考查学生数形结合、函数与方程等思想的应用，以及学生分析问题与解决问题的能力．
讲评时，须提醒学生，虽然课本对直线与椭圆的位置关系不作要求，但由于这类问题涉及B级和C级知识点，复习时亦应适度关注；第（2）小题在求直线l的方程时，除答案提供的方法外，还可通过线段相等得出 ，方法如下：设直线l与BC交于点F，则E（b，0），F（b－1，0），因为l平分矩形面积，所以EA=CF，即a+1－b=b－1，即 .
第（3）小题可以先考虑圆M与EA、AB和l都相切，再研究是否在矩形内，方法如下：不妨假设圆M与EA、AB都相切，则圆心M在直线3x+3y－7=0上，于是可设圆心M ，且圆半径为 ，由于圆M与l相切，所以 ，解得x0= ，从而圆心纵坐标（亦即圆半径） ，（后略）。
本题（3）亦可换成：四边形ABFE是否存在内切圆，解答这个问题相对比较简单，可先考虑与AB、BF、EA都相切的圆，再看该圆是否与l相切。
19．本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论等数学思想方法。第一问求k的取值范围也可以用导数直接来做。第二问求函数f(x)的值域，评讲时主要讲清分类的标准，着重先判断函数的单调性，函数f(x)的极值与k的关系，从而确定分类的标准。另外，直接考虑f(x)的单调性，当k≥1时，f(x)为单调减，当k≤ 时，f(x)单调增，最讨论 20.等差数列和等比数列是江苏高考的必考内容，也是考查的热点和难点。故建议：
1. 回归课本，重温定义。在烂熟课本知识的前提下，适度加大数列综合性问题的力度。
2. 盘点近年来的高考数列题和南通市一、二模相关问题，通过梳理，悟出共性，摸索出规律，以减少解题的盲目性。
3. 难题不是每问都难，能拿的分（如本题第（1）问和（2）、（3）的一部分）须尽数拿下。
最后限于命题者水平，加上时间比较紧，准备工作不充分等因素，试题及答案一定存在不少问题，请各位高三老师批评指正。