limx→∞（x－1⼀x＋1）^x

上下乘√(x2+x+1)+√(x2-x+1)分子是平方差=x2+x+1-x2+x-1=2x原式=lim2x/[√(x2+x+1)+√(x2-x+1)]上下除以x=lim2/[√(1+1/x+1/x2)+√(1-1/x+1/x2)]=2/(1+1)=1

limx→∞（x－1/x＋1)^x
=limx→∞[(1－1/x)/(1＋1/x)]^x
=limx→∞(1－1/x)^x/(1＋1/x)^x
=limx→∞(1－1/x)^x/e
在设x=-t，代入式子得到：
limx→∞(1+1/t)^(-t)/e
=limx→∞(1+1/t)^(t)*(-1)/e
=1/e^2
limx→-∞（x－1/x＋1)^x
设x=-m
limm→∞[-(m+1)/(1-m)]^(-m)
=limm→∞[m-1)/(m+1)]^m
=limm→∞[(1-1/m)/(1+1/m)]^m
=limm→∞(1-1/m)^m/e
=1/e^2
最终得到，当x趋势于无穷时该式子的值为1/e^2。

这应该是大一上开始学极限的题目，不能用洛必达法则。解答如下：
设a^(1/x)-1＝t，则1/x lna＝ln(1+t).所以x＝lna/[ln(1+t)].当x趋于无穷时，t趋于0.于是
原极限＝lim(t趋于0) t * lna/[ln(1+t)]
＝lna lim(t趋于0)t/[ln(1+t)]
＝lna lim(x趋于0) 1/[ln(1+t)^(1/t)]
＝lna/e.