求sinx的四次方分之一的不定积分

sinx的四次方分之一的不定积分：

解：∫(sinx)^4dx

=∫(sinx)^3*sinxdx

=-∫(sinx)^3*dcosx

=-cosx*(sinx)^3+∫cosxd(sinx)^3

=-cosx*(sinx)^3+3∫cosx*cosx*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(cosx)^2*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(1-(sinx)^2)*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx-3∫(sinx)^4dx

则，4∫(sinx)^4dx=-cosx*(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3/2∫(1-cos2x)dx

=-cosx*(sinx)^3+3/2*x-3/2∫cos2xdx

=-cosx*(sinx)^3+3/2*x-3/4*sin2x+C

=3/2*x-cosx*(sinx)^3+3/2*sinx*cosx+C

得，∫(sinx)^4dx=3/8*x-1/4cosx*(sinx)^3+3/8*sinx*cosx+C

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

sinx的四次方分之一的不定积分如下：

扩展资料：

1、分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。

2、分部积分法的公式为：∫u（x）v'（x）dx=∫u（x）dv（x）=u（x）*v（x）-∫v（x）du（x）

3、分部积分中常见形式

（1）求含有e^x的函数的积分

∫x*e^xdx=∫xd(e^x)=x*e^x-∫e^xdx

（2）求含有三角函数的函数的积分

∫x*cosxdx=∫x*d(sinx)=x*sinx-∫sinxdx

（3）求含有arctanx的函数的积分

∫x*arctanxdx=1/2∫arctanxd(x^2)=1/2(x^2)*arctanx-1/2∫(x^2)d(arctanx)

计算过程如下：

原式=(1/4)∫(1-cos2x)^2dx

=(1/4)∫[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx

=x/4-(1/4)sin2x+(1/8)∫(1+cos4x)dx

=x/4-(1/4)sin2x+x/8+(1/32)sin4x+C

=3x/8-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

扩展资料：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

∫ dx/(sinx)^4
=∫ (cscx)^4 dx
consider
∫ (cscx)^4 dx=-∫ (cscx)^2 dcotx
=-(cscx)^2. cotx -2∫ (cotx)^2 (cscx)^2 dx
=-(cscx)^2. cotx -2∫ [ (cscx)^2-1] (cscx)^2 dx
5∫ (cscx)^4 dx =-(cscx)^2. cotx +2∫(cscx)^2 dx
=-(cscx)^2. cotx -2cotx
∫ (cscx)^4 dx = -(1/5) cotx [ (cscx)^2 +2 ] + C

∫ dx/(sinx)^4
=∫ (cscx)^4 dx
= -(1/5) cotx [ (cscx)^2 +2 ] + C