用定义证明y=xsin(1⼀x)为当x→0时的无穷小

具体回答如下：

因为|y－0|＝|xsin(1/x)|≤x

所以对于任意小的正数ε

要使得|y－0|＜ε

只要|x|＜ε即可

所以，存在正数δ＝ε

当0＜|x－0|＜δ时

恒有|y－0|＝|xsin(1/x)－0|＜ε

所以，y＝xsin(1/x) 当x→0时为无穷小

倍角半角公式：

sin ( 2α ) = 2sinα · cosα

sin ( 3α ) = 3sinα - 4sin & sup3 ; ( α ) = 4sinα · sin ( 60 + α ) sin ( 60 - α )

sin ( α / 2 ) = ± √( ( 1 - cosα ) / 2)

由泰勒级数得出

sinx = [ e ^ ( ix ) - e ^ ( - ix ) ] / ( 2i )

级数展开

sin x = x - x3 / 3! + x5 / 5! - ... ( - 1 ) k - 1 * x 2 k - 1 / ( 2k - 1 ) ! + ... ( - ∞ < x < ∞ )

导数

（ sinx ） ' = cosx

（ cosx ) ' = ﹣ sinx

∵0≤|sin1/x|≤1

∴|xsin1/x|=|x||sin1/x|<|x|

对于所有的ε内>0,取ε=δ，存在容δ，使得

当0<|x|<δ时，|f(x)|=|xsin1/x|=|x||sin1/x|<|x|<δ=ε

这就证明了f(x)的极限为0

扩展资料：

无穷小的性质：

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

无论sin什么都≤1 又≥-1
所以-x≤xsin(1/x)≤x
y=x和y=-x 在x→0的时候都=0 (这个不用我教你证明吧)
所以xsin(1/x)在x→0的时候也=0

∵0≤|sin1/x|≤1
∴|xsin1/x|=|x||sin1/x|<|x|
对于所有的ε>0,取ε=δ，存在δ，使得
当0<|x|<δ时，|f(x)|=|xsin1/x|=|x||sin1/x|<|x|<δ=ε
这就证明了f(x)的极限为0.