1998-2005年全国数学竞赛初中数学联赛试题

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题:（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得零分）
1、如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6。将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

2、若M= (x，y是实数)，则M的值一定是（ ）
（A）正数 （B）负数 （C）零 （D）整数
3、已知点I是锐角三角形ABC的内心， ， ， 分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△ 的外接圆上，则∠ABC等于（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
4、设A= ，则与A最接近的正整数是（ ）
（A）18 （B）20 （C）24 （D）25
5、设a、b是正整数，且满足于 ， ，则 等于（ ）
（A）171 （B）177 （C）180 （D）182
二、填空题: （共5小题，每小题6分，满分30分）
6、在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）。若现在时间恰好是12点整，则经过 秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大。
7、在直角坐标系中，抛物线 （m>0）与x轴交于A，B两点。若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足 ，则m的值等于 。
8、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是 。
9、已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们相交于点P。过点P分别作PQ‖CA，PR‖CB ，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为 。
10、已知 都是正整数，且 =58，若 的最大值为A，最小值为B，则A＋B的值等于 。
三、解答题:（共4题，每小题15分，满分60分）
11、某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列。问原长方形队列有多少个同学。

12、已知p、q都是质数，且使得关于x的二次方程 至少有一个正整数根，求所有的质数对（p ，q）。

13、如图，分别以△ABC（△ABC为锐角三角形）的边AB，BC，CA为斜边向外作等腰直角三角形DAB，EBC，FAC。求证：（1）AE=DF；（2）AE⊥DF。

14、从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a、b、c (a
2005年全国初中数学竞赛

题号 一 二 三 总分
1～5 6～10 11 12 13 14
得分
一、选择题:(满分30分)
1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：⑴将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则△GFC的面积为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

2.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x，y是实数)，则M的值一定是( )
A.正数 B.负数 C.零 D.整数
3.已知点I是锐角△ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.设 ，则与A最接近的正整数是( )
A.18 B.20 C.24 D.25
5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数 的函数值中整数的个数是( )
A.59 B.120 C.118 D.60
二、填空题(满分30分)
6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则经过_____秒后，△OAB的面积第一次达到最大。

7.在直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B的两点。若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足 ，则m=_____.
8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_________.
9.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们交于点P。过P分别作PQ‖CA，PR‖CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的面积的比是________
10.已知x1,x2,x3,…x19都是正整数，且x1+x2+x3+…+x19=59，x12+x22+x32+…+x192的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于_________。
三、解答题、(满分60分)
11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

12.某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果减少120人，也能组成一个正方形队列。问原长方形队列有同学多少人。

13.已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2－(8p－10q)x＋5pq=0,
至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q).

14.如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别是 和 的中点。求证：