高一数学数列问题

2025-01-21 12:59:21

推荐回答（5个）

回答（1）：

1 .累加法

逐差累加法

例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an

解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, …an-an-1=2n-1

将以上n-1个式子相加可得

an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1

注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法

求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。

2 .逐商叠乘法

例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an

解：当n≥2时， =22, =23, =24,… =2n

将以上n-1个式子相乘可得

an=a1.22+3+4+…+n=2

当n=1时，a1=1满足上式

故an=2 (n∈N*)

注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列。

3 . 错位相减法

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。

例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；
当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；
∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；
两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；
化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n

错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：
S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）
在（1）的左右两边同时乘上a。得到等式（2）如下：
aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）
用（1）—（2），得到等式（3）如下：
（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）
（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。
（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。

例子:求和Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方（x不等于0）
解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n平方
当x不等于1时，Sn=Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方
所以xSn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方……..+(2n-1)乘以x的n次方
所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x平方＋x三次方＋。。。。。+x的n-2次方)－（2n-1）乘以x的n次方。
化简得：Sn=(2n-1)乘以x得n+1次方－（2n+1）乘以x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方
Cn=(2n+1)*2^n
Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
两式相减得
-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)
=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和)
=(1-2n)*2^(n+1)-2
所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
错位相减法
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n

希望对您有帮助

回答（2）：

我帮你梳理一下数列求和的思路和方法吧。
大体思路是先等差等比，不行就转化为等差等比，还不行就裂项。下面是具体的思路方法。

一个数列求和先看是否是等差、等比数列，若是，就用它们的求和公式去求。

若不是等差、等比，看是否能转化为等差、等比。高中课外题大部分是这种情况。
这类题目中，又分几类，可分别使用。

1、倒序相加法：
如果数列与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个和相等的数列，从而变为等差数列求和。
课本对等差数列求和公式的推导，就是采用的这种方法。

2、错位相减法：
一个等差数列与一个等比数列对应项乘积得到的新数列求和，就采用这种方法.
例对数列{n·2^n} 求和。

3、分组转化法：
把数列的各项拆成两项，或把数列的项重新组合，使其转化为等差或等比数列的和与差，然后分别求和再相加。
（课本习题中就有这类题目）

若上面这些都不行，就用裂项公式。
几个常见的公式：
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
1/(2n-1)(2n+1)=1/(2n-1)-1/(2n+1)
1/n(n+2)=[1/n-1/(n+2)]/2
1/[(√（n+1）+√n)]=1/√（n+1）-1/√n

学会了以上这些，常见的数列求和就没有什么问题了。
之所以感到困难，往往是不知道如何想（不知思路），不知道如何做（不知题型方法），解决了这些，问题就解决了。

回答（3）：

万变不离其中记住公式一应百变

回答（4）：

急是学不好数学的！要想学好这个就不要指望百度！
求神不如求人，求人不如求已！
要学好这个还是靠你自己努力吧！

回答（5）：

数列的求和
求数列的前n项和Sn，重点应掌握以下几种方法：

1.倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.

2.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.

3.分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.

4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.

5.公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：

6.无穷递缩等比数列求和公式：

考点练习
1.数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则an= _____________.

2.已知{an}的前n项和Sn=n2-4n+1，则|a1|+|a2|+…|a10|=( )
(A)67 (B)65
(C)61 (D)56
3.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )
(A) 12 (B) 10
(C) 8 (D) 6
4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数(111…11)2位转换成十进制形式是( )
(A) 217-2 (B) 216-2 (C) 216-1 (D)215-1

5.数列的前n项之和为Sn，则Sn的值得等于( )

(A) (B)

(C) (D)

6、设利用课本中等差数列前n项和公式的推导方法，求

f(–5)+f(–4)……+f(0)+……+f(5)+f(6)的值为__________．

典型题选讲
1.求下列各数列前n项的和Sn：

(1) 1×4，2×5，3×6，…n(n+3);

(2)

(3)

【解题回顾】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有

特别地，以下等式都是①式的具体应用：

上述方法也称为“升次裂项法”.

2.求数列a，2a2，3a3，…，nan，…(a为常数)的前n项的和.

【解题回顾】若一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积组成，则求此数列的前n项和多采用错位相减法．

3.已知数列{an}中的a1=1/2，前n项和为Sn．若Sn=n2an，求Sn与an的表达式.
【解题回顾】
当本题解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n，下面要想到迭代法求Sn，(即选乘)，同样如得出Sn+1-Sn=f(n)，可用迭差.

4．若数列{an}中，an=-2[n-(-1) n]，
求S10和S99 .
【解题回顾】若构成数列的项中含有(-1)n，则在求和Sn时，一般要考虑n是奇数还是偶数.
5．等比数列的首项为a，公比为q，Sn为前n项的和，求S1+S2+……+Sn．
6.在数列{an}中，an＞0， 2√Sn = an +1(n∈N)
①求Sn和an的表达式；

②求证：

【解题回顾】利用，再用裂项法求和.利用

此法求和时，要细心观察相消的规律，保留哪些项等.必要时可适当地多写一些项，防止漏项或增项.

误解分析
1.求数列通项时，漏掉n=1时的验证是致命错误.
2．求数列前n项和时，一定要数清项数，选好方法，否则易错．

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