1⼀(x^2*根号下(a^2+x^2)）的不定积分怎样求？

∫1/[x√(a^2-x^2)]dx

= (1/a^2)∫ [ √(a^2-x^2)/ x + x/√(a^2-x^2) ] dx

=(1/a^2)[ ∫ √(a^2-x^2)/ x dx - ∫ d√(a^2-x^2) ]

= (1/a^2) ∫ √(a^2-x^2)/ x dx - √(a^2-x^2)/(a^2)

令a/x = secb，则(-a/x^2) dx = (tanb)^2db，(-a/(a/secb)^2) dx = (tanb)^2db，dx = -a (sinb)^2 db ，所以：

∫ √(a^2-x^2)/ x dx

= ∫ tanb[ -a (sinb)^2  ] db

= -a∫ (sinb)^3/cosb db

= a ∫ (1-(cosb)^2)/cosb dcosb

= a [ln|cosb| - (cosb)^2/2 ] + C'

= a[ln|x/a| - (1/2)(x/a)^2] + C'

代入可以得到：

∫1/[x√(a^2-x^2)]dx

= (1/a^2) ∫ √(a^2-x^2)/ x dx - √(a^2-x^2)/(2a^2)

= (1/a)[ln|x/a| - (1/2)(x/a)^2 ] -√(a^2-x^2)/(a^2) + C

扩展资料：

不定积分求法：

1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。

2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 

两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。

可以考虑换元法

答案如图所示

三角换元x=atanu后脱根号解

∫dx/[x^2.√(a^2+x^2)]
let
x=atanu
dx=a(secu)^2 .du
∫dx/[x^2.√(a^2+x^2)]
=∫a(secu)^2 .du/[ (atanu)^2. (asecu)]
=(1/a)∫ (secu)/(tanu)^2 du
=(1/a) ∫ cosu/(sinu)^2 du
= -(1/a) [ 1/sinu] + C
= -(1/a) [ √(a^2+x^2)/x] + C