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三次方程求根公式

ggsdgsdfsadvsxcgsdfadf

2025-03-13 07:00:31

推荐回答（5个）

回答（1）：

具体算法如下：

1、ax^3+bx^2+cx+d的标准型。

2、化成x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0。

3、可以写成x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0。

4、其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a。

5、令y=x-a1/3。

6、则y^3+px+q=0。

7、其中p=-(a1^2/3)+a2，q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3。

扩展资料：

三次方程的其他解法：

1、因式分解法

因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x3-x=0

对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1。

2、另一种换元法

对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x3+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z代入并化简，得：z-p/27z+q=0。再令z=w代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x。

3、盛金公式解法

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．

参考资料：百度百科-三次方程

回答（2）：

ax^3+bx^2+cx+d的标准型
化成
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0
可以写成
x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0
其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a
令y=x-a1/3
则y^3+px+q=0
其中p=-(a1^2/3)+a2
q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3

2)用1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2
2、方程x^3=A的解为x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^2
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程
y^2+qy-p^3/27=0的两个根。
解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
则u^3=A,v^3=B
u= A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2
v= B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2
但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：
u1= A（1/3）,v1= B（1/3）
u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2
u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω
那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即
x1=u1+v1= A（1/3）+B（1/3）
x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2
x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω
这正是著名的卡尔丹公式。你直接套用就可以求解了。
△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。
当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；
当△<0时，有三个实根。
根与系数关系是：设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1,x2,x3,
则x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.

回答（3）：

求根公式在图中,不过很复杂,其中i表示叙述单位.

回答（4）：

三次方程
新解法——
盛金公式
解题法
　　三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。　　
盛金公式　　
shengjin's
formulas
　　一元三次方程ax^3＋bx^2＋cx＋d=0，（a，b，c，d∈r，且a≠0）。　　重根判别式：a=b^2－3ac；b=bc－9ad；c=c^2－3bd，　　总判别式：δ=b^2－4ac。　　当a=b=0时，盛金公式①
：
　　x1=x2=x3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。　　当δ=b^2－4ac>0时，盛金公式②：　　x1=(－b－(y1)^(1/3)－(y2)^(1/3))/(3a)；　　x2，x3=(－2b＋(y1)^(1/3)＋(y2)^(1/3))/(6a)±3^(1/2)((y1)^(1/3)－(y2)^(1/3))i/(6a)，　　其中y1，y2=ab＋3a(－b±(b^2－4ac)^(1/2))/2，i^2=－1。　　当δ=b^2－4ac=0时，盛金公式③：　　x1=－b/a＋k；x2=x3=－k/2，　　其中k=b/a，(a≠0)。　　当δ=b^2－4ac<0时，盛金公式④：　　x1=(－b－2a^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；　　x2，x3=(－b＋a^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，　　其中θ=arccost，t=
(2ab－3ab)/(2a^(3/2))，(a＞0，－1＜t＜1)。

回答（5）：

对于X的一元三次方程：ax^3+bx^2+cx+d=0(a不等于0)而言有
Δ=(q^2)/4+(p^3)/27
其中
q=(2b^3-9abc+27a^2d)/(27a^3)
p=(3ac-b^2)/(3a)
当Δ<0
时
x1=³√(-q/2+√Δ)+³√(-q/2-√Δ)
x2=((-1+√3×i)/2)×(³√(-q/2+√Δ)+³√(-q/2-√Δ))
x3=((-1-√3×i)/2)×(³√(-q/2+√Δ)+³√(-q/2-√Δ))
当Δ=0时
x1=2×³√(-q/2)
x2=x3=2×³√(q/2)
当Δ>0时
x1=x2=x2=³√(-q/2+√Δ)+³√(-q/2-√Δ)
（注：“³√
”为三次根号“√”为根号，“i”为虚数单位
i^2=-1)

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