|B|=-288。
求矩阵的行列式通常通过因式分解并利用|AB|=|A||B|转换为简单矩阵的行列式的乘积。
|B|=|A²(A-5I)|=|A|²|A-5I|=4|A-5I|,
其中最后一步利用了矩阵的行列式等于其特征值的乘积这个性质。剩下的问题就是求|A-5I|。由于A的特征值互异,因此可以对角化,设A=P^(-1)DP,其中D=diag(1,-1,2),则:
|A-5I|=|P^(-1)DP-5P^(-1)P|=|P^(-1)(D-5I)P|=|P^(-1)||diag(-4,-6,-3)||P|=-72。
因此|B|=-288。
扩展资料:
求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下:
1、第一步:计算的特征多项式;
2、第二步:求出特征方程的全部根,即为的全部特征值;
3、第三步:对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组的一个基础解系,则的属于特征值的全部特征向量是其中不全为零的任意实数。
若是的属于的特征向量,则也是对应于的特征向量,因而特征向量不能由特征值惟一确定.反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
利用矩阵特征值的性质以及已知条件可得,B的所有特征值为:
13-5×12=-4,
(-1)3-5×(-1)2=-6,
23-5×22=-12.
从而,
|B|=(-4)×(-6)×(-12)=-288.
求矩阵的行列式通常通过因式分解并利用|AB|=|A||B|转换为简单矩阵的行列式的乘积。
比如此题
|B|=|A²(A-5I)|=|A|²|A-5I|=4|A-5I|,
其中最后一步利用了矩阵的行列式等于其特征值的乘积这个性质。剩下的问题就是求|A-5I|。由于A的特征值互异,因此可以对角化,设A=P^(-1)DP,其中D=diag(1,-1,2),则
|A-5I|=|P^(-1)DP-5P^(-1)P|=|P^(-1)(D-5I)P|=|P^(-1)||diag(-4,-6,-3)||P|=-72,
因此|B|=-288。