急！求解 微积分 ∫根号下(x^2+1) dx

∫√(x²+1) dx= x/2 * √(x²+1) +1/2 * ln|x+√(x²+1)| +C，C为常数。

解题过程：

使用分部积分法来做

∫√(x²+1) dx

= x* √(x²+1) - ∫x *d√(x²+1) 

= x* √(x²+1) - ∫ x² /√(x²+1) dx

= x* √(x²+1) - ∫ √(x²+1) dx +  ∫ 1/√(x²+1) dx

所以得到

∫√(x²+1) dx

= x/2 * √(x²+1) +1/2 * ∫ 1/√(x²+1) dx

= x/2 * √(x²+1) +1/2 * ln|x+√(x²+1)| +C，C为常数

扩展资料：

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。

分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。

分部积分的本质：

原本的函数是 udv，可能积分及不出来，但是变成 vdu 之后，有可能积出来，也有可能被积函数变得简单了。最常见的变得简单，有两个特色：对数函数消失了，或者幂次降低了。

分部积分的局限：

绝大多数的积分，是无法通过分部积分积出来的。有很多定积分是不定积分无论如何都积不出来的，一定要在特殊的定积分的条件下才能积分，而且必须使用复变函数、积分变换之类的特别方法才能解决。

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积分:根号(x^2+1)dx

思路:分部积分法很有用!

=x*根号(x^2+1)-积分:xd(根号(x^2+1))
=x根号(X^2+1)-积分:x^2/根号(x^2+1)dx
=x根号(x^2+1)-积分:(x^2+1-1)/根号(x^2+1)dx
=x根号(x^2+1)-积分:根号(x^2+1)+积分:dx/根号(x^2+1)

先求:积分:dx/根号(x^2+1)
令x=tant
dx=d(tant)=sec^2tdt

原式
=积分:sec^2tdt/sect
=积分:sectdt
=积分:cost/cos^2tdx
=积分:d(sinx)/(1-sin^2x)
=1/2ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
x=tant代入有:
=ln|x+根号(x^2+1)|+C

令原来的积分是Q
Q==x根号(x^2+1)-Q+积分:dx/根号(x^2+1)
2Q=x根号(x^2+1)+ln|x+根号(x^2+1)|+C
所以

Q=1/2[x根号(X+1)+ln|x+根号(x^2+1)|+C
(C 是常数)

三角换元令x=tant,则原式=∫sectdtant=∫sec^3tdt
=secttant－∫tantdsect
=secttant－∫tan^2tsectdt
=secttant－∫(sec^2t－1）sectdt
=secttant－∫sec^3tdt+∫sectdt
所以原式=∫sec^3tdt=(1/2)secttant+（1/2)∫sectdt
=(1/2)secttant+（1/2)ln|sect+tant|+C
=(1/2)x√(x^2+1)+(1/2)ln|x+√(x^2+1)|+C(C为任意常数）

ln[x+根号下（X2+1）]+C