只证上确界，下确界同理可证
证明：
设A有上界，我们来证它有上确界。不妨找A的一个上界M。先在集合A中取一点,记为x1，从x1开始以下列方式取点：
在[x1,M]中取A中的一点记作x2，一定可以做到，因为x1本身是A中的点。如是再三，可取得A中的点列{xn}，下面来证明它是柯西序列。
若从某一项开始数列恒为一个值，则必定是柯西序列。对于非此情况的数列，由取法可知，数列随着n趋近于无穷，对于任意的r，从某项xk起之后各项（不只是相邻项）之间的差值都会小于r，所以点列{xn}是柯西序列。（注意，如果在xk之后有有限个差值大于r,则把最后的一项定为xk；若有无限项差值大于r，那么若干个r就比[x1,M]还长，不可能出现。）
由此可知，无论何种情况，点列{xn}都是柯西序列，所以收敛到一点c。从点列的选法来看，c是A的一个上界，因为它大于等于A中所有的元素。同时，对于任意的e>0，由收敛序列的性质可知存在A中的一点xn，使得c+e>xn>c-e
由此证明了c就是A的上确界。
问题得证
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