初二数学几何综合题

2025-03-01 07:34:27

推荐回答（5个）

回答（1）：

1.已知三角形ABC,分别以AB,AC,BC为边作正三角形ABD,正三角形BCE,正三角形ACF.且角ACB=60度.求证:S三角形ABD+S三角形ABC=S三角形BCE+S三角形ACF.
2.如图所示，四边形ABCD是正方形，M和N分别在AB、CD上，P和Q分别在AD、BA上，并且PQ垂直于MN，求证PQ=MN
（最好有过程）
补充问题
图片：
http://sibm.uibe.edu.cn/article/article000/pic/upfile/20057162124530.jpg

3.矩形ABCD中，P是对角线AC上一点，过点P作EF‖AD，分别交AB，CD于点E、F，过点P作GH‖BA分别交AD、BD于点G、H
求证：（1）当点P不是AC中点时，EHFG是梯形
（2）当点P是AC中点时，EHFG是什么四边形？请给出证明

4.在△ABC中,已知F是BC的中点,D和E是AC上的点,且AB=DC,AE=ED,FE交BA的延长线于M,求证AE=AM

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回答（2）：

解：由一张矩形纸片ABCD,E,F分别是BC,AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a,AD=b,BE=x.(图形AD在上BC在下)EF必过AC与BD的交点.有两种情况;1.AF>FD;2.AF1.AF>FD.直线EE'经过原矩形的一个顶点A,连结FE`交BC于P,则BE=DF=x,AF=2EP=2x/3,∴BE=EP=PC=b/3.∴3x=b.
若BE`⊥EF时(观察图形不可能平行)
∵∠E`BE=∠E`FE=90°-∠BE`F=90°-∠CEF=90°-∠AEB=∠BAE,
∴△ABE`∽△BEE`,BE`/EE`=AE`/BE`=AB/BE=a/(b/3)=3a/b,
前二式相乘得9a^2/b^2=AE`/EE`=2,∴a/b=(√2)/3.
2.AF这时BE与FE`互相平分,BE`EF一定是菱形.总有BE`‖EF.(观察图形不可能垂直)
与a,b无关.

回答（3）：

作EH垂直AB于H，可算出EH=x/3,EG=1-x/3,通过勾股定理，可算出BH=√2*x/3，因为三角形EHB和
三角形EGF相似，所以
可以算出GH=（1-x/3）/√2，
三角形EGF的面积=1/2*GH*EG=
（1-x/3）^2/√2,0≤x＜3,当x=0，面积最大为√2/2

回答（4）：

这道题需要分情况讨论。
首先我们假设，PQ‖BE，那么这样就有以下几种情况：
如图，设对角线的交点为O，则：
①当点P在AO上、Q在DO上且均不在线段端点上时，此时0＜x＜AO/2根号3，根据
勾股定理
可得AO=根号3。
∴0求出x的取值之后，根据
等腰三角形
的
三线合一
（E为DC中点），可得∠DBE=30°，
若PQ‖BE，则，在Rt⊿PQO中，∠PQO应等于30°，可列出等式
根号3倍PO=QO，进一步列出方程
根号3（根号3-2倍根号3x）=1-x，解得x=0.4
②当P在CO上、Q在DO上（因为P到达C点时，Q刚好到达O点，所以Q应该一直都在线段QO上），且未运动到线段端点，则：
延长BP，交CD于F，
若QE‖BP，
则易证明⊿DQE并非
等边三角形
，
∴⊿DQE∽⊿DBF，
∴DQ:DB=DE:DF
∵E是DF中点，且DF又∵DQ<1/2DB
∴这两个三角形不相似，与假设相矛盾。
③继续第一种假设，现在我们将平行的线段换为PB和QE，则：
此时，取范围内任意一点，过点B作EQ的平行线BG，
∵在菱形ABCD中，
AB‖DC，且EQ与相邻两边CD、AD的交点在菱形内部，
∴BG与AC所在的直线的交点在菱形外部，故假设不成立。
④继续第二种假设，将
互相平行
的线段换成QB、EP，则：
过点E作EH‖DB交AC于H，则可得：
EH是⊿CDO的
中位线
，
∴H是CO中点，
∴AH=AO+OH=(1+1/2)根号3
当点P运动到点H时，
∵EH‖DB，
且点Q在DB上，
∴EP‖QB,与假设相符，
此时的x值通过列式计算：（3/2根号3）/2倍根号3
得出x的值为3/4，
Tpmax=AC/2倍根号3=2倍根号3/2倍根号3=1
∴x=3/4，符合假设及题意
⑤当点P运动到点O时，Q、P、B在同一直线上，不能都成四边形。
⑥当点P运动到点C时，根据计算可得点Q运动到点O，
∵O是DB中点，
且E是CD中点
∴EO（EQ）是⊿DBC的中位线
∴EQ‖PB
∴当点P运动到点C时，点Q、B、P、C可以构成梯形
∴x3=1
∴x1=0.4，x2=0.75，x3=1
（做题做的我好辛苦。。确定是对的，做到第三个假设我都要放弃了，结果突然发现后两种假设都可以成立，所以，这道题有三个答案。PS:一直切换大小写、符号，打得我手都软了，最佳答案是我的！！）

回答（5）：

解：过点E作EH⊥BC于点H，
因为四边形ABCD为正方形，EG⊥CD，
所以EH/AB=CE/AC,EG/AD=CE/AC,四边形EHCG为矩形，
因为AB=4,AD=3,AE=x,
所以AC=5，
则EH=4(5-x)/5,EG=3(5-x)/5,
又因为四边形EHCG为矩形，
则EG=CH=3(5-x)/5,
BH=3-3(5-x)/5=3x/5,
又因为∠EBH+∠CFE=180°，∠CFE+∠EFG=180°，
∠BEH+∠HEF=90°，∠HEF+∠GEF=90°，
所以∠EBH=∠EFG，∠BEH=∠GEF，
所以△BEH∽△FEG，
所以EH/EG=BH/GF,
[4(5-x)/5]/[3(5-x)/5]=(3x/5)/GF,
则GF=9x/20,
所以三角形EGF的面积为：
S=1/2×EG×GF
=1/2×[3(5-x)/5]×（9x/20）
=（-27x^2+135x)/200.

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