计算不定积分∫x^2dx⼀√a^2-x^2

请问这样计算对不对，如有错，请指正

2024-11-15 07:08:13

推荐回答（4个）

回答（1）：

设x=asinα，dx=acosαdα，√（a²-x²）=a√（1-sin²α）=acosα，x²=a²sin²α

原式=∫a²sin²α/acosα.acosαdα=a²∫sin²αdα=（a²/2）∫2sin²αdα

=（a²/2）∫（1-cos2α）dα

=（a²/2）（α-sin2α/2）+C

=（a²/2）（arcsin（x/a）-sinαcosα）+C

=（a²/2）（arcsin（x/a）-(x/a)√（1-x²/a²））+C

=（a²/2）（arcsin（x/a）-(x/a²)√（a²-x²））+C

=（a²/2）arcsin（x/a）-（x/2）√（a²-x²）+C

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

扩展资料：

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

参考资料来源：百度百科——不定积分

回答（2）：

第二步错了，详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

回答（3）：

这条题目应该用三角函数的换元法：
设x=asinα，dx=acosαdα，√（a²-x²）=a√（1-sin²α）=acosα，x²=a²sin²α
原式=∫a²sin²α/acosα.acosαdα=a²∫sin²αdα=（a²/2）∫2sin²αdα
=（a²/2）∫（1-cos2α）dα
=（a²/2）（α-sin2α/2）+C
=（a²/2）（arcsin（x/a）-sinαcosα）+C
=（a²/2）（arcsin（x/a）-(x/a)√（1-x²/a²））+C
=（a²/2）（arcsin（x/a）-(x/a²)√（a²-x²））+C
=（a²/2）arcsin（x/a）-（x/2）√（a²-x²）+C

回答（4）：

我们可以通过换元法来求解该不定积分，令x = a sinθ，dx = a cosθ dθ，将其带入原式中得到：

∫x^2dx/√a^2-x^2 = ∫a^2 sin^2θ(a cosθ dθ)/√a^2-a^2 sin^2θ

化简得到：

∫a^2 sin^2θ(a cosθ dθ)/a cosθ = a ∫sin^2θdθ = a/2(θ - sinθ cosθ) + C

将θ = sin^-1(x/a)代入上式，即可得到最终结果：

∫x^2dx/√a^2-x^2 = a/2(x√a^2-x^2 - a^2/2 sin^-1(x/a)) + C