A对称，故存在正交阵Q和对角阵D使得A=QDQ'。A^2=A得到A的特征值只能是0和1。R(A)=r得到D恰有r和对角元为1，其余为0。(1)A+I=Q(D+I)Q'是对称矩阵，特征值为1和2，故正定。(2)利用A^2=A得I+A+...+A^k=I+kA=Q(I+kD)Q'，相似变换不改变行列式，只要算det(I+kD)即可。I+kD的特征值是r和1+k和n-r个1，所以答案是(1+k)^r。
