函数极限的局部保号性，推论怎么证明？

2024-11-13 01:47:38

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回答（1）：

证明它的逆否命题

若lim f(x)=A<0则f(x)<0（用保号性）

可推

若f(x)>=0则lim f(x)=A>=0

例如：

设Lim（x→x0）F(x)=A。

若A》0，则推论已成立。

若A<0，

则对于-A/2>0，存在x0的某个去心邻域，使得

|F(X)-A|<-A/2，

即A/2

则有F

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数，并且要满足极限是趋于同一方向，从而证明或求得函数的极限值。

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

参考资料来源：百度百科-函数极限

用反证法，再用保号性，则出矛盾。

推论用反证法。若f(x)>=0,但lim f(x)=A<0, 则由定理，有去心领域f(x)<0，与f(x)>=0矛盾。

证明它的逆否命题
若lim f(x)=A<0则f(x)<0（用保号性）
然后可推
若f(x)>=0则lim f(x)=A>=0

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