58问答库 > 已知f（x）=|x|ex（x∈R），若关于x的方程f2（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数t的取值

已知f（x）=|x|ex（x∈R），若关于x的方程f2（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数t的取值

2024-11-29 01:48:58

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回答（1）：

化简可得f（x）=

|x|

，x≥0

，x＜0

，
当x≥0时，f′（x）=

1?x

，
当0≤x＜1时，f′（x）＞0，当x≥1时，f′（x）≤0
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当x＜0时，f′（x）=

x?1

＜0，f（x）为减函数，
∴函数f（x）=

|x|

在（0，+∞）上有一个最大值为f（1）=

，作出函数f（x）的草图如图：

设m=f（x），当m＞

时，方程m=f（x）有1个解，
当m=

时，方程m=f（x）有2个解，
当0＜m＜

时，方程m=f（x）有3个解，
当m=0时，方程m=f（x），有1个解，
当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，
则方程f²（x）-tf（x）+t-1=0等价为m²-tm+t-1=0，
要使关于x的方程f²（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4个不相等的实数根，
等价为方程m²-tm+t-1=0有两个不同的根m₁＞

且0＜m₂＜

，
设g（m）=m²-tm+t-1，
则

g(0)＝t?1＞0

)＝

+t?1＜0

＞0

，即

t＞1

t＜

e+1

＝1+

t＞0

，
解得1＜t＜1+

，
故选：C