什么叫棣莫弗公式？

设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则:Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]。

证:先讲一下复数的三角形式的概念。在复平面C上，用向量Z(a,b)来表示Z=a+bi。于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,rsinθ(r=√a^2+b^2)。所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ)。这里θ称为复数Z的辐角。

因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，所以

Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)

=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)

=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]

=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]

其实该定理可以推广为一般形式。

证:用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。

如果把棣莫弗定理和欧拉(Euler)公式"e^iθ=cosθ+isinθ"(参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析)放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。