曲率半径的公式推导

2024-12-05 13:25:03
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回答(1):

曲率半径的公式为κ=lim|Δα/Δs|。

ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)]/y"|,证明如下:

1、曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆(Osculating circle)的半径。密切圆可能是与曲线在该点相内切的圆中半径最大的(比如在椭圆长轴顶点处),也可能是与曲线在该点相外切的圆中半径最小的(比如在椭圆短轴顶点处),也可能两者都不是。

2、比如对于直线上任一点,和直线在该点相切的圆的半径可以任意大,所以直线的曲率半径为无穷大(对应于曲率为零,也就是“不弯曲”)。而在圆上,每一点的密切圆就是其本身,故其曲率半径为其本身的半径。抛物线顶点曲率半径为焦准距(顶点到焦点距离的两倍)。

对于y=f(x),曲率半径等于(1+(f ')^2)^(3/2)/ |f "| 。

回答(2):

对于直线上任一点,和直线在该点相切的圆的半径可以任意大,所以直线的曲率半径为无穷大(对应于曲率为零,也就是“不弯曲”)。而在圆上,每一点的密切圆就是其本身,故其曲率半径为其本身的半径。抛物线顶点曲率半径为焦准距(顶点到焦点距离的两倍)。

对于y=f(x),曲率半径等于(1+(f ')^2)^(3/2)/ |f "| 。

主要作用:

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度,特殊的如:圆上各个地方的弯曲程度都是一样的故曲率半径就是该圆的半径;直线不弯曲 ,和直线在该点相切的圆的半径可以任意大,所以曲率是0,故直线没有曲率半径。

圆形半径越大,弯曲程度就越小,也就越近似于一条直线。所以说,曲率半径越大曲率越小,反之亦然。

回答(3):

ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)/y'']| ,对于y=f(x),曲率半径等于(1+(f ')^2)^(3/2)/ |f | 。
证明如下:


回答(4):

回答(5):

你单纯的这样说的话是很难找到人去回答你这个问题的,你的具体的说一个什么样的曲线,然后再由微积分的原理去求出它的一个区域变化的函数