证明方程x^5-5x+1=0只有一个小于1的正实根

2024-11-05 09:40:47

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回答（1）：

令 f(x)=x^5 -5x +1
则f'(x)=5x^4 -5=5(x^4 -1)=5(x²+1)(x²-1)
令 f'(x)>0，得 x²>1，解得 x>1或x<-1
从而 f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函数，在(-1，1）上是减函数。
又 f(0)=1，所以 f(0)f(-1)<0，而f(x)在(0,1)上减，即 f(x)在(0,1)上有且只有一个零点。
从而方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根

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回答（2）：

令f(x)=x^5-5x+1
f'(x)=5x^4-5
当x>1或x<-1时，f'(x)>0
f(x)单调递增
f(1)=1,
∴x>1时，f(x)>f(1)=-3,无实根;
同理x<-1 f(x)-1≤x≤1时
f'(x)<0, f(x)单调递减
∵f(-1)>0,f(1)<0
f(x)在整个R域连续，
∴(-1,1)之间必然有一点x0，f(x0)=0
∴方程x^5-5x+1=0只有一个小于1的正实根.

回答（3）：