求不定积分∫1⼀√[x(x+1)^3]dx的值

如图

我们可以将分母的根式写成分式的形式，即：
√[x(x+1)^3] = √x/(x+1) * √(x+1)^2
然后，我们可以进行变量代换，令u = √x/(x+1)，则x = u^2/(1-u^2)，dx = 2u/(1-u^2)^2 du。代入原式，得到：
∫1/√[x(x+1)^3]dx = ∫2u/(1-u^2)^2 * √(x+1)^2 du
再进行变量代换，令v = √(x+1)，则x = v^2-1，dx = 2v dv。代入原式，得到：
∫2u/(1-u^2)^2 * √(x+1)^2 dx = ∫2u/(1-u^2)^2 * v * 2v dv
化简得到：
∫1/√[x(x+1)^3]dx = ∫4u^2v/(1-u^2)^2 dv
我们可以再次进行变量代换，令w = 1-u^2，则u^2 = 1-w，dw = -2u du。代入原式，得到：
∫4u^2v/(1-u^2)^2 dv = -2∫v/(w^2-1) dw
再进行分式分解，得到：
∫v/(w^2-1) dw = 1/2 * ln|v-1| - 1/2 * ln|v+1|
代入原式，得到：
∫1/√[x(x+1)^3]dx = -2ln|√x-√(x+1)| + C
其中，C为常数。

我们可以先将积分拆开，然后分别进行积分。 原积分： \int \frac{1}{\sqrt{x(x + 1)^{3}}} dx∫x(x+1)31dx 首先，我们计算\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx∫x1dx 设u = \sqrt{x}, du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dxu=x,du=2x1dx 2\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\int \frac{2u}{du} = 4\int \frac{1}{u} du = 4\ln|u| + C2∫x1dx=2∫du2u=4∫u1du=4ln∣u∣+C = 4\ln|\sqrt{x}| + C=4ln∣x∣+C 接下来，我们计算\int \frac{1}{(x + 1)^{3/2}} dx∫(x+1)3/21dx 设u = x + 1, du = dxu=x+1,du=dx \int \frac{1}{(x + 1)^{3/2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} du = 2\int \frac{1}{u} du = 2\ln|u| + C∫(x+1)3/21dx=∫u1du=2∫u1du=2ln∣u∣+C = 2\ln|x + 1| + C=2ln∣x+1∣+C 最后，将两个积分相乘，得到： \int \frac{1}{\sqrt{x(x + 1)^{3}}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx \cdot \int \frac{1}{(x + 1)^{3/2}} dx∫x(x+1)31dx=∫x1dx⋅∫(x+1)3/21dx = 4\ln|\sqrt{x}| \cdot 2\ln|x + 1| + C=4ln∣x∣⋅2ln∣x+1∣+C = 8\ln|\sqrt{x}||\ln|x + 1|| + C=8ln∣x∣∣ln∣x+1∣∣+C