上限x下限0，被积函数f，的变限积分函数怎么求导

2024-10-29 09:01:23

推荐回答（5个）

回答（1）：

[∫积分上限函数（x，0）f（y）]'=x’*f（x）=f（x）

将原式展开,由于是对t的积分,（x-t）中的x是常数,可以提出来∫(0,x) (x-t)f(t)dt = x∫(0,x) f(t)dt - ∫(0,x) t f(t)dt 对x求导得 ∫(0,x) f(t)dt + xf(x) - xf(x) = ∫(0,x) f(t)dt。

拓展资料：

求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。

数学中的名词，即对函数进行求导，用表示。

基本求导公式

给出自变量增量；

得出函数增量；

作商；

求极限。

对数求导法则

函数被称为幂指函数，在经济活动中会大量涉及此类函数，注意到它很特别。既不是指数函数又不是幂函数，它的幂底和指数上都有自变量x，所以不能用初等函数的微分法处理了。这里介绍一个专门解决此类函数的方法，对数求导法。

对于两边取对数（当然取以为e底的自然对数计算更方便）。由对数的运算性质。

参考资料：百度百科-积分

回答（2）：

将原式展开，由于是对t的积分，（x-t）中的x是常数，可以提出来：

∫(0,x) (x-t)f(t)dt = x∫(0,x) f(t)dt - ∫(0,x) t f(t)dt

对x求导得 ∫(0,x) f(t)dt + xf(x) - xf(x) = ∫(0,x) f(t)dt

一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。

扩展资料

“函数”由来

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。

中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。

这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。

但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。

早期概念

十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。

1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。

1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。

十八世纪

1718年约翰·柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。

1748年，欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”

他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

1755年，欧拉给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”

参考资料：函数.百度百科

回答（3）：

上限x下限0，被积函数f（x）的变上限积分求导直接等于f（x）。

定理：连续函数f(x)在[a,b]有界，x属于(a,b)，取βX足够小，使x+βX属于(a,b)，则存在函数F(x)=∫(0,x)f(t)dt, 使F(x)的导数为f(x)；

扩展资料：

其他类型的变上限积分的求导方法：

（1）下限为常数，上限为函数类型

对于这种类型只需将上限函数代入到积分的原函数中去，再对上限函数进行求导。

（2）下限为函数，上限为常数类型

需要添加“负号”将下限的函数转换到上限，再按第一种类型进行求导即可。

（3）上下限均为函数类型

这种情况需要将其分为两个定积分来求导，因为原函数是连续可导的，所以首先通过“0”将区间[h(x),g(x)]分为[h(x),0]和[0,g(x)]两个区间来进行求导。然后将后面的变下限积分求导转换为变上限积分求导。接着对两个区间的变上限积分分别求导即可得到下面公式。

回答（4）：

上限x下限0，被积函数f，的变限积分函数的求导方法：

∫积分上限函数（x，0）f（y）]'=x’*f（x）=f（x）

积分上限函数：被积区间为[a，x]，对于这种函数的求导，类似复合函数求导， x代入被积函数，同时对x求导。若积分上区间为x²，需要对x²也求导。

变限积分函数的基本求导法则.。

定理[1]如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数在区间 [a，b]上可导，且它的导数
.
推论1如果函数f（x）连续，函数φ（x）可导，则函数的导数为 .。

推论2如果函数f（x）连续，函数φ（x），ψ（x）均可导，则函数的导数为 .。

拓展资料：

求导是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。

参考资料：百度百科——求导

回答（5）：

[∫积分上限函数（x，0）f（y）]'=x’*f（x）=f（x）

拓展资料：

基本求导公式

给出自变量增量；

得出函数增量；

作商；

求极限。

求导四则运算法则与性质

1.若函数都可导，则

2.加减乘都可以推广到n个函数的情况，例如乘法：

3.数乘性

作为乘法法则的特例若为常数c，则，这说明常数可任意进出导数符号。

4.线性性

求导运算也是满足线性性的，即可加性、数乘性，对于n个函数的情况：

反函数求导法则

若函数

严格单调且可导，则其反函数的导数存在且。

复合函数求导法则

若在点x可导

在相应的点u也可导，则其复合函数

在点x可导且。

1.不是所有的函数都可以求导；

2.可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导（如y=|x|在y=0处不可导）。

参考资料：百度百科-求导

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