58问答库 > 数列{an}的前n项和Sn=2n+p（p∈R），数列{bn}满足bn=log2an，若{an}是等比数列，（1）求p的值及通项an；

数列{an}的前n项和Sn=2n+p（p∈R），数列{bn}满足bn=log2an，若{an}是等比数列，（1）求p的值及通项an；

2025-04-07 17:39:29

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回答（1）：

（1）∵s_n=2ⁿ+p∴s_n-1=2^n-1+p（n≥2）
∴a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）
∵数列a_n为等比数列
从而a₁=2⁰=2¹+p
∴p=-1
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n-1，b_n-b_n-1=1
当n为偶数时，T_n=（b₁）²-（b₂）²+（b₃）²…+（-1）^n-1（b_n）^{2
=（b₁+b₂）?（b₁-b₂）+（b₃+b₄）?（b₃-b₄）+…+（b_n-1-b_n）?（b_n-1+b_n）}
=-1×（b₁+b₂+b₃+…+b_n）
=

n(1?n)

当n为奇数时，T_n=（b₁）²-（b₂）²+（b₃）²…+（-1）^n-1（b_n）²=（b₁+b₂）?（b₁-b₂）+（b₃+b₄）?（b₃-b₄）+…+（b_n-2+b_n-1）?（b_n-2-b_n-1）+（b_n）²
=-1×（b₁+b₂+b₃+…+b_n-1）+（n-1）²
=

n(n?1)

综上可得，Tn＝(?1)n?1

n(n?1)