58问答库 > 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex（a为实数）．（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex（a为实数）．（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线

2024-12-03 23:26:24
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回答（1）：

（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（-x2+5x-3）-ex，g（1）=e．
g′（x）=（-x2+3x+2）-ex，故切线的斜率为g′（1）=4e
∴切线方程为：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e；
（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，

x (0，
1
e
)
1
e
 (
1
e
，+∞)
f'（x） - 0 +
f（x） 单调递减 极小值（最小值） 单调递增
①当t≥
1
e
时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，
∴f（x）min=f（t）=tlnt；                                      
②当0＜t＜
1
e
时，在区间(t，
1
e
)上f（x）为减函数，在区间(
1
e
，e)上f（x）为增函数，
∴f(x)min＝f(
1
e
)＝?
1
e
；                                     
（Ⅲ） 由g（x）=2exf（x），可得：2xlnx=-x2+ax-3，
a＝x+2lnx+
3
x
，
令h(x)＝x+2lnx+
3
x
，h′(x)＝1+
2
x
?
3
x2
＝
(x+3)(x?1)
x2
．
x (
1
e
，1)		 1 （1，e）
h′（x） - 0 +
h（x） 单调递减 极小值（最小值） 单调递增
h(
1
e
)＝
1
e
+3e?2，h（1）=4，h（e）=
3
e
+e+2．
h(e)?h(
1
e
)＝4?2e+
2
e
＜0．
∴使方程g（x）=2exf（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为4＜a≤e+2+
3
e
．

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