为什么零点九循环既等于1又小于1？

事实上, 0.999…… = 1.
我开门见山, 是因为我有充分的准备. 请看:
1. 对于
"设 0.9999…… = X,
则 10X = 9.9999……,
所以 10X-X = 9,
所以 X=1,
于是 0.9999…… = 1"
实际上, 这个证明是数学界公认的正确证明. 为什么这么说呢? 它有没有问题呢? 没有. 我们可以确定它每一步的正确性: 把x乘以十, 结果正确吗? 正确, 因为我们能确信它每一位都左移了. 减法(10x-x)正确吗? 正确. 这个地方较难确认, 但是, 按照小数减法法则, 小数点后每一位对应相减, 没有任何问题.
好, 看第2个证明:
0.3333…… = 1/3,
所以 0.33…… *3 = (1/3)*3,
即 0.999…… = 1.
这不是数学界公认的证明方法, 但大众容易接受. 为什么不被公认呢? 它有值得怀疑的地方: 0.3333…… = 1/3, 就好像人们怀疑 0.999…… = 1 一样. 您看:
0.9 < 1,
0.09 < 1,
0.009 < 1,
……
0.3 < 1/3,
0.03 < 1/3,
0.003 < 1/3,
……
所以严格的说这是不严谨的. 如果有人在百度知道里质疑的不是 0.999…… = 1, 而是 0.3333…… = 1/3, 它还能用作凭据吗? 故我们不作讨论.
接下来论述最后一个证明. 就是楼主说的关于无穷大的证明. 这个对于 0.999…… < 1 的证明是错误的. 然而不管是认为 < 和 = 哪个才是正确的的人, 都会赞同以下观点: 只要你有本事证出 1/10^无穷大=0, 我们就相信 0.999…… = 1; 只要你证出 1/10^无穷大>0, 我们就相信 0.999…… < 1.
为此, 我专门证明 1/10^无穷大=0.
证:
易知 1/10^无穷大不是负数, 因此它大于或等于0.
若 1/10^无穷大>0, 设 1/10^无穷大 = n>0,
则 1/n= 10^无穷大,
但是对于正数n来说, 倒数是一个有限正数,
所以 1/n 不等于 10^无穷大,
所以 1/10^无穷大=0.
证毕.
有些人要说了, 你这证明不对. n是无穷小! 倒数当然无穷大了!
那我再作另一个证明. 准确得说, 不是证明, 是论述.
请问: 无穷大*2=?
假定把无穷大看成数, 则一个正"数", 要么有穷大, 要么无穷大. 如果问号处是有穷大, 显然不对. 故问号处为无穷大.
怎么了? 哦, 无穷大*2=无穷大!! 如果让你解一个方程 2x=x, 你会解得 x=0, 而不是 x=无穷大 呀!
这是因为, 无穷大与有穷大是不同的, 在你解方程时, 可以将两边同减去x, 对于数x, 总有 x-x=0, 2x-x=x, 但这些在无穷大处失效了. 实际上, 在数学里, 有下列各式:
实数+无穷大=无穷大,
实数-无穷大=负无穷大,
正数*(正负)无穷大=(正负)无穷大,
负数*(正负)无穷大=(负正)无穷大,
实数/无穷大=实数/负无穷大=0,
无穷大-无穷大=无意义,
0*无穷大=无意义,
无穷大/无穷大=无意义.
以上各式, 有些是楼主必然认同的, 有些是我下面要证明的.
有人要说, 2*无穷大=无穷大, 但是此无穷大非彼无穷大, 等号左右的无穷大是不相等的. 注意, 无穷大是实数域的特征, 是一种属性, 在数学的大分支分析学中是实数域的上界与最小上界, 我们有权利说它们相等不相等吗?
的确, 我们历经沧桑, 见过那么多的实数, 它们与同名称的实数相等, 我们可以用物理方法测量, 得出它们相等. 但是对于眼前这个肥仔"无穷大", 你敢说吗? 敢论证吗? 无穷大是一种属性,可以理解为参与运算的属性. 我们说3=3, 可以认为是3与3参与运算的属性相同. 不是吗?把3和3分别扔到5+右边, 结果都是8!! 我说 无穷大=无穷大, 只是说属性一致, 而要比较数值的话, 上帝也得累死.
言归正传. 易得 10^无穷大=无穷大,
1/无穷大*无穷大 等于1吗? 好, 我们能得出
1/无穷大*无穷大 = 无穷大/无穷大.
由前面内容我们得出 1*无穷大 = 无穷大,
2*无穷大 = 无穷大,
3*无穷大 = 无穷大,
……
所以, 无穷大/无穷大=1,
无穷大/无穷大=2,
……
觉得熟悉吗? 亲切吗? 研究 0/0 时的景象, 想起来了吗?
1*0=0,
2*0=0,
3*0=0,
……
所以 0/0=1,
0/0=2,
0/0=3,
……
显然, 以上两个结论都是错误的. 无穷大/无穷大, 和0/0, 都是无意义的.
因此, 1/10^无穷大*10^无穷大=1 是错误的.
另外, 事实上 0*10^无穷大=0 也是错误的. 不过这就是要证的内容, 这里不作论述.
好, 我想以上内容没有问题了. 接下来就接受反驳了.
反驳者1:
9.999…… 小数点后的9比 0.999…… 后的少一个.
答复:
这样说是错误的. 的确, 看:
9小数点后的9比0.9少一个,
9.9小数点后的9比0.99少一个,
9.99小数点后的9比0.999少一个,
……
为什么呢? 对于9和0.9, 在0.9小数点后第1位的9不能在9小数点后第1位找到对应的9;
对于9.9和0.99, 在0.99小数点后第2位的9不能在9.9小数点后第2位找到对应的9, 尽管小数点后第1位的9能找到;
……
但是 0.999…… 和 9.999…… 不同. 对于 0.999…… 小数点后每一个9, 都能在 9.999…… 小数点后找到一个对应的9. 也就是说, 做减法时小数点后能完全消去.
反驳者2:
0.999…… 是趋向于1, 而不是等于1.
答复:
说这种话的人, 对极限的概念没有理解正确. 他该抗议了: 我理解错? 我清楚着呢! 中学里做极限题目, 我还全对呢! 你凭什么这么说?
我是有根据的. 现在中学生学极限, 觉得朦朦胧胧大概是那么回事, 嘿, 考试得满分, 行了, 我理解了. 其实不然, 错误的理解不影响考试, 但影响研究.
下面这句话谁都没有异议吧:
设"0."后面9的个数为n. 当 n→无穷大 时, 0.999…… →1.
正如反驳者本人所说, 趋向(→)和等于(=)是不同的. 那么, n→无穷大 和 n=无穷大 是不同的. n→无穷大, 表明n是自然数, 它朝着某个方向向无穷大奋进, 但不是无穷大, 它是有穷大. 既然n是有穷大, 0.999…… 当然小于1了. 这"某个方向", 可以是笔在纸上写9的方向, 也可以是时间的方向.
学过极限的人知道, "lim(x→a(写在lim下面), y)=b" 与 "当x→a时, y→b" 是相同的. 凭什么说当 n→无穷大时, 0.999……9(n个9) =1-1/10^n→1 呢? 因为指数函数是连续的, 所以人们令n等于假想中的"数"无穷大, 得到1/10^n=0, 而这结论是人们在这之前证明的, 此时 1-1/10^n=1, 因此才有 "当 n→无穷大时, 0.999……9(n个9) =1-1/10^n→1", 因果关系是这样的.
这反驳者, 我们在探讨命题p的正确性, 历史上人们根据命题p推出命题q, 他竟然试图用q来证明p是错误的. 这只有在悖论中才行得通, 然而这里是没有悖论的踪迹的. 有这种想法是相当可笑的, 然而精神是可嘉的.
实际上, 注意, 当 0.999…… 后面9的个数"等于"(注意引号的强调!)无穷大时, 0.999…… 是"等于", 而非"趋向于"1的.
另外奉劝lx_yokumen, 您屡次说"感觉"(不一定是回答百度知道里的问题), 这个词不是不准确的, 而是不正确的. 如果你做一道平面几何题目, 看着图觉得一个点是一条线段的中点, 这是感觉, 是没有根据的. 而我们, 包括楼上几位的论述, 是有根有据的, 即使是错的, 那也是推理的疏漏, 或者是根据本身的问题. 您可以说这样不可靠, 但不能说这是感觉.

楼主提出的“0.999,依次类推知当N为无穷大时,值为0.99.....于是,1-0.999....=(10的无穷次幂/10的无穷次幂)-(10的无穷次幂-1)/10的无穷次幂=1/10的无穷次幂,又因为,1/10的无穷次幂*10的无穷次幂=1,而0*10的无穷次幂=0所以1/10的无穷次幂大于0即1-0.9999....大于0所以1大于0.9999......”
注意一下“无穷次”是一个概念，不是一个数，自然不能运算了

我们在这里讨论的是0.9无限循环下去的值
而极限表示的是一个无限趋向的值，并不表示它真正的值，所以我觉得对于这题采用极限去解释都是不合理的

而对于10X-X=9这种证明我觉得如果你不凭经验而仔细去琢磨的话你应该不敢轻易地去下结论，如果让你把这个问题解释给一个小学生你应该会无从下手，因为得出结论的原因仅是你感觉它对

那我把我的一些疑问明朗化吧，的确发现我用“感觉”这个词是错的。

至于10X这个9.99……是怎么出来的首先是一个疑问，因为如果简单说乘10就是小数点左移一位的话这只是我们作算法得出的规律，如果证明了10个0.999……加起来为9.99……我就没有任何疑问了

第二个我的观点就是无穷大这种类似的不是一个数的概念不能作四则运算，感觉作出来是不表示什么值的，也就是说要证明1/无穷大=0要先证明它是一个实数

然后我们知道0.333……是1/3所致，那为什么0.333……乘3的时候不是得1而是得到0.999……

之后是我对用极限去解释的看法，我认为如果不想去说它只是趋向等于1的话那么应该不要用极限，无论0.999……怎么表示，用极限去说得出的都应该是当某某趋向无穷大时，0.999……趋向于1，如果你说当某某等于无穷大时，那么0.999……等于1应该才说得通

最后的疑问，虽然我赞成是0.999……=1的，但有时候自己也有些问题也困扰很久，就是0.999……算不算一个已经给出的量，或者说它的表示是否已经完成了，它有没有可能是一个不能完全给出的但是存在且比任何小于1的数都大的量呢

这个题我可以给你证明。

首先我必须引用下面的定理。
有理数的密集性：任何两个不同的有理数之间必然有另外一个有理数。

如果0.999999..不等于1,那么必然存在一个有理数他大于0.9999...而小于1,而这个数是不存在的.因此这两个数相等.

我将题目中的错误告诉你：
1）设0.9999.....=X,则10X=9.9999.....即10X-X=9,所以X=1,于是0.9999.....=1
其实，10X-X应该等于9.000……9
因为X是被你扩大了10倍，所以10X后的小数应该比X后的要少一位，而你在计算是忽略了这一点。才有10X-X=9
依此类推，
0.9999……从科学上讲永远小于1，而从生活上讲永远等于1

10的N次幂-1/10的N次幂,当N等于2时等于100－0。01＝99。99好不好。怎么等于0。99？
你的意思应该是【(10的N次幂-1)/10的N次幂】b吧。

你后面推理中的数：10的无穷次幂，不是实数范围内的数，它是无穷大。
无穷大的四则运算规则和实数的运算规则不一样。
记Q为无穷大，则Q+一个实数=Q;Q－一个实数=Q；Q×一个实数=Q；
Q/一个实数=Q; Q/Q不能确定；Q*Q=Q;