58问答库 > 已知a,b,c均为正数且a+b+c=1求证(1+1⼀a)(1+1⼀b)(1+1⼀c)≥64

已知a,b,c均为正数且a+b+c=1求证(1+1⼀a)(1+1⼀b)(1+1⼀c)≥64

2024-11-01 03:21:17

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(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)
=1+ (1/a+1/b+1/c) + (1/ab+1/bc+1/ca) +1/abc
=1+ (1/a+1/b+1/c) + (a+b+c)/abc +1/abc
=1+ (1/a+1/b+1/c) + 2/abc

其中由柯西不等式，
(1/a+1/b+1/c)(a+b+c) ≥（1+1+1)^2 = 9，
而a+b+c=1，所以(1/a+1/b+1/c)≥9。

由几何不等式，
a+b+c=1≥3(abc)^1/3，
所以abc ≤1/27 1/abc≥27，

因此
(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=1+ (1/a+1/b+1/c) + 2/abc ≥1+9+2*27=64