lim(n趋于无穷大)(1+2^n+3^n)^(1⼀n)

2024-10-28 06:49:04

推荐回答（5个）

回答（1）：

lim(n趋于无穷大)(1+2^n+3^n)^(1/n)的极限值等于3。

解：因为3^n＜1+2^n+3^n＜3*3^n=3^(n+1)，

那么(3^n)^(1/n)＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜(3^(n+1))^(1/n)，

即3＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3^((n+1)/n)。

又因为lim(x→∞)3^((n+1)/n)=3^1=3。

即当n→∞时，3＜lim(x→∞)(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3

那么根据夹逼定理可得，lim(x→∞)(1+2^n+3^n)^(1/n)=3。

扩展资料：

1、夹逼定理及其应用

（1）若函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X。

（2）设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为a。

若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn，则数列{Yn}收敛，且极限为a。

2、极限的重要公式

（1）lim(x→0)sinx/x=1，因此当x趋于0时，sinx等价于x。

（2）lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e，或者lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。

（3）lim(x→0)(e^x-1)/x=1，因此当x趋于0时，e^x-1等价于x。

3、极限运算法则

令limf(x)，limg(x)存在，且令limf(x)=A，limg(x)=B，那么

（1）加减运算法则

lim(f(x)±g(x))=A±B

（2）乘数运算法则

lim(a*f(x))=a*limf(x)，其中a为已知的常数。

参考资料来源：百度百科-夹逼定理

回答（2）：

简单计算一下即可，答案如图所示

回答（3）：

解1：n->无穷
3^n<(1+2^n+3^n)<3*3^n
lim (3^n)^(1/n)=3且lim (3*3^n)^(1/n)=3
由夹逼准则知lim(1+2^n+3^n)^(1/n)=3

回答（4）：

这个需要使用夹逼准则来求解：
因为： 1/(n + n^2) ≤ 1/(m + n^2) ≤1/(1 + n^2)， 1 ≤ m ≤ n
所以： n * 1/(n + n^2) = n/(n + n^2) ≤∑1/(m + n^2) ≤ n * 1/(1 + n^2) = n/(1 + n^2)
由于：lim n * n/(n + n^2) = lim n^2/(n + n^2) = lim 1/(1 + 1/n) = 1
lim n * n/(1 + n^2) = lim n^2/(1 + n^2) = lim 1/(1 + 1/n^2) = 1
因此，lim n*∑(1/(m + n^2) = 1

回答（5）：

夹逼定理
lim [n^2/(n+n^2)]<原极限且lim [n^2/(n+n^2)]=lim [n^2/(1+n^2)]=1
所以
原极限=1